§ B. Konjugierte Richtungen, Asymptotenlinien etc. 15 
und hieraus mit Benutzung der Bezeichnungen § 1, (22) die 
erste Gleichung (20). 
Anmerkung 1. Yertauscht man in den bisher eingeführten 
Größen u und u, so gehen die Größen 
E, F, G: D, D', I)"\ m, m', m"; p, p', p" 
bezüglich über in 
G, F. E; D", D', I): n", n', n; q", q', q. 
Anmerkung 2. Die sechs Fundamentalgrößen E, F, G; 
D, D', D" sind unabhängig von dem Koordinatensystem, 
auf das die Fläche bezogen ist, d. h. sie ändern sich nicht, wenn 
die Fläche im Raum bewegt wird. Bei einer solchen Bewegung 
wird jeder Punkt {x, y, z) oder {u, v) der Fläche in einen anderen 
Punkt (xi, yi, zi) übergeführt, wobei 
xi = «i x -)- ßi y + 71 z + A, 
2/i = «a 35 + ß*V + 
Zi = <* s x + ß s y + y 3 z + C, 
ist, und die Koeffizienten a v ß v y v sowie A, B, C konstant sind, 
und erstere den Relationen Einleitung (10) genügen. Durch die 
obenstehenden Gleichungen sind die Koordinaten Xi, yi, Z\ des 
Flächenpunktes in der neuen Lage als Funktionen von u und v 
bestimmt. Es folgt also aus diesen Gleichungen 
dxi dx. dy dz 
du Ql du ' P 1 du ‘ 1 du ’ 
usw. und hieraus unter Berücksichtigung der Relationen Ein 
leitung (10) 
usw. Bedeuten also E v F v G y ' D v D' v B" die Fundamental 
größen der Fläche in der neuen Lage, so ist 
Et=E, F,=F, Gi = G; 
D l — D, D[ = D', D"=D", 
wobei der Beweis für die übrigen fünf Größen dem oben für E 
geführten analog ist. 
§ 3. Konjugierte Richtungen, Asymptotenlinien, 
Krümmungslinien. Hauptkrümmungsradien. 
Nachdem in § 1 und 2 die Fundamentalgrößen erster 
und zweiter Ordnung aufgestellt und eine Reihe wichtiger 
Relationen abgeleitet sind, kommen wir zu den in Bd. I,