§ 3. Konjugierte Richtungen, Asymptotenlinien etc. 17 
Wir haben also 
Satz 1. Die Gleichung D / = 0 ist die notwen 
dige und hinreichende Bedingung dafür, daß die 
Parameterkurven im Punkt (<u, v) konjugiert sind. 
Ist die Gleichung D'— 0 für alle Wertepaare u, v 
identisch erfüllt, so sind die Parameterkurven 
allenthalben auf der Fläche konjugiert. 
Die Asymptotenrichtungen sind nach Bd. I, § 21, 
(10) definiert durch die Gleichung 
(5) —L = dadx J r dhdy-\-dcdz = 0. 
Aus § 2, (14a) folgt sofort die Bedingung dafür, daß 
eine Fortschreituugsrichtung du:dv eine Asymptotenrichtung 
ist, nämlich 
^ L = D du 2 + 2 D'dudv -f D"dv 2 = 0. 
Diese Gleichung stellt zugleich die Differential 
gleichung der beiden Scharen von Asymptotenlinien 
auf der Fläche dar. Sie hätte auch aus (3) dadurch ab 
geleitet werden können, daß dort 
du t = du 2 = du, dv 1 = dv 2 = dv 
gesetzt wird, da ja jede Asymptotenrichtung sich selbst 
konjugiert ist. Sollen insbesondere die Parameterkurven 
Asymptotenlinien sein, so muß die Gleichung (6) sowohl 
für du = 0, als für dv= 0 erfüllt sein. Die Bedingung für 
ersteres ist D"=0, für letzteres D = 0. Also: 
Satz 2. Die notwendige und hinreichende Be 
dingung dafür, daß die Parameterkurven Asymp 
totenlinien sind, ist, daß die Gleichungen 
(7) D = 0, D"= 0 
für alle Wertepaare u, v identisch erfüllt sind. 
Die Hauptkrümmungsrichtungen sind nach Bd. I, 
§21, (8) definiert durch die Gleichung 
(8) 
a da dx 
1) dh dy 
c de ds 
= 0. 
Um diese Gleichung auf die Parameterform zu über 
tragen, multiplizieren wir die Determinante M mit der De 
terminante A, § 2, Gl. (10) und erhalten 
Kommerell, Theorie der Raumkurven. II. 
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