18 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parametertorm. 
M- A = 
2 1 
2 1 
a 2 ada 
dx 'STi i dx 
a-rr- > aa-i— 
5 u J 5 u 
dx vi dx 
dv 
*sr\ ox v 7 
> > da 
Nim ist nach § 2, (3) und (9) 
dx 
a dx 
> dx-^ 
du 
7 dx 
> dx-^r- 
¿—j dv 
dx 
Ea* =!, y«/=y^=0; 
’ 5m -¿—j 5v 
nach 
2, (14) 
dx 
= 0. 
Endlich ergibt sich aus § 1, (6) und (8), daß 
(9) ^dx d ^ = Edu + Fdv, ^dx^ = Fdu + Gdv 
ist. 
Es folgt somit 
Edu-\-Fdv Ddu + D'dv _ 
Fdu-\-Grdv D'du J rD"dv ’ 
oder entwickelt 
(10) Jf-4 
(ED' — FD) du 2 -\-(ED"— GE) du dv 
(lüa) + {FD" — GD')dv°- = 0. 
Die Gleichung (10) oder (10 a) ist die Bedingung dafür, 
daß die Richtung du:dv eine Hauptkrümmungsrichtung ist. 
Sie ist zugleich die Differentialgleichung der beiden 
Scharen von Krümmungslinien auf der Fläche. 
Sollen die Parameterkurven selbst Krümmungslinien 
sein, so muß die Gleichung (10 a) sowohl für du= 0, wie für 
dv = 0 erfüllt sein. Hierzu ist notwendig und hinreichend, 
daß für alle Werte von u und v die Gleichungen bestehen 
ED'—FD = 0, FD"— GD' = 0. 
Diese Gleichungen sind linear und homogen in F und 
D'. Sie können also entweder dadurch erfüllt sein, daß