§ 3. Konjugierte Richtungen, Asymptotenlinien etc. 19 
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F= D'= 0 ist, oder dadurch, daß 
letzteren Falle wäre aber, wie aus (10 a) leicht zu sehen ist, 
die Differentialgleichung der Krümmungslinien für alle Werte 
von du und dv erfüllt, was nicht möglich ist. 
Wir haben also als Bedingung: F— 0, D' = 0, oder 
Satz 3. Die notwendige und hinreichende Be 
dingung dafür, daß die Parameterkurven Krüm 
mungslinien sind, ist, daß die Gleichungen 
F= 0, D' = 0 
(11) 
für alle Wertepaare u und v identisch erfüllt sind. 
In der Tat drückt die erste Gleichung nach § 1, (19) 
aus, daß die Parameterkurven orthogonal sind, die zweite 
nach (4), daß sie konjugiert sind. 
Es hat sich also ergeben: 
Die Parameterkurven sind 
konjugierte Linien, wenn D'= 0, 
Asymptotenlinien, wenn D = D"= 0, 
Krümmungslinien, wenn F= D'— 0 ist. 
Wir bestimmen endlich die Hauptkrümmungs 
radien B i und B. 2 der Fläche im Punkte u, v und 
benützen hierzu die Gleichungen Bd. I, § 22, (4) 
dx-\- Bda = 0, dy + Bdh = 0, dz-\- Bdc = 0. 
Multipliziert man diese Gleichungen bezüglich mit Z 
6x dy dz du du du 
und mit 2F 80 l°lgl durch Addition nach § 2, (14) 
und § 3, (9) 
Edu-\~ Fdv = B{D du-{- D'dv), 
Fdu-\- G dv = B{D' du-\- B" dv). 
Eliminiert man hieraus B, so erhält man die Diffe 
rentialgleichung der Krümmungslinien; eliminiert man aber 
du: dv, so folgt für B die Bestimmungsgleichung 
oder entwickelt 
B 2 {DD" 
D' 2 ) — B {ED"— 2 FD' + GD) 
+ {EG — F 2 ) = 0.