20 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Die beiden Wurzeln R x und R 2 dieser Gleichung 
sind die beiden Hauptkrümmungsradien. Aus (13a) 
ergibt sich für das Krümmungsmaß Je und die mittlere 
Krümmung h im Punkte (u, v) der Fläche 
(14) 
(15) 
1 DD"— D' 2 
r[r 2 ~ EG — F 2 ’ 
1 , 1 E D"— 2 FD' + GD 
R 1 + R 2 ~ EG — F 2 
Aus (14) ergibt sich als Gleichung der paraboli 
schen Kurve (vgl. Bd. I, § 22, S. 99) auf der Fläche 
(16) 
DD" — D' 2 = 0. 
Für den Krümmungsradius R eines beliebigen 
Normalschnittes erhalten wir schließlich nach Bd. I, 
§ 22, (2) 
1 L D du 2 + 2 D'dudv-\- D"dv 2 
R ds 2 E du 2 + 2 F du dv + Gdv 2 
Besonders einfache Ausdrücke für die Hauptkrümmungs 
radien erhält man, wenn man die Krümmungslinien zu 
Parameterkurven wählt, so daß nach (11) F= D' = 0 
ist. Für den Krümmungsradius eines beliebigen Normal 
schnitts folgt dann aus (17) 
ID du 2 + D"dv 2 
(18) R = Edu 2 + Gdv 2 ' 
Hieraus erhält man die Hauptkrümmungsradien R 1 und 
R 2 , wenn man einmal dv — 0 und dann du = 0 setzt, also 
(19) 
i 
D 
1 
D" 
r; 
~E’ 
dT 
~~ G 
’ 
Aus dx J r Rda = 
0 (s. . 
oben) 
u. s. 
w. : 
Gleichungen 
dx 
da 
dy__ 
D 
dl) 
ds 
(20) 
du 
Ri 
du’ 
du 
du : 
du 
dx 
r 2 
da 
dy__ 
T) 
dh 
ds 
dv 
dv ’ 
dv 
— Ao 
dv ’ 
dv 
~ Rl du’ 
_-n 
2 dv