§ 4. Sphärische Abbildung. Ebenenkoordinaten. 
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Setzt man hier für und R 2 die Werte aus (19) ein, 
so erhält man wieder die Gleichungen von Rodrigues, 
§ 2, (19). 
Anmerkung 1. Aus (17) läßt sich leicht die Eulersche 
Formel [Bd. I, § 18, Gl. (6)] herleiten; wir überlassen dies dem Leser. 
Anmerkung 2. Aus (14) und (15) folgt durch eine einfache 
Rechnung 
^ A 4 ^ ) 2 = {ED"— GL») 2 — 4 {ED' —FD) {FD" — GD') 
= [{ED" — GD) — {ED' — LZ»)] V ~ (.EG—F 2 ) {ED'— FD)\ 
Hieraus lassen sich die Bedingungen für einen Kreispunkt 
herleiten. Da in einem solchen (vgl. Bd. I, § 18, S. 76) B l = jB, 2 ist, 
muß für einen Kreispunkt die rechte Seite von (21) verschwinden. 
Aus der zweiten Form derselben folgt, daß für reelle Kreispunkte 
diese Bedingungsgleichung in zwei zerfällt (vgl. Bd. I, S. 100), 
nämlich 
ED"— GD = 0, ED'— FD — 0 
oder 
(22) 
D D' _ D" 
E~Y r ~~G 
Die beiden gleichen Hauptkrümmungsradien erhalten dann 
nach (14) und (15) den Wert 
(23) 
_ J_ _ D _ D' _ D" 
B l ~I^~E~^~F~ G 
§ 4. Sphärische Abbildung. Ebenenkoordinaten. 
In Bd. I, § 20 wurde gezeigt, wie eine Fläche mit 
Hilfe ihrer Normalen auf eine Kugel vom Radius = 1 ab 
gebildet werden kann; diese sphärische Abbildung ist 
nun auch für Flächen in Pararaeterform aufzustellen. Wir 
werden dabei die früher hergeleiteten Sätze bestätigt finden 
und gleichzeitig zu einigen weiteren bemerkenswerten Re 
lationen kommen. 
Wir bezeichnen wieder alle auf die Kugel bezüglichen 
Größen mit dem Index 0, nur die Koordinaten des sphä 
rischen Bildes eines Punktes P{x,y,z) seien mit X, Y, Z 
bezeichnet, dann ist nach Bd. I, § 20 
(1) X=a, Y=h, Z=c, 
woraus folgt 
(2) 
X 2 + Y 2 + Z°- = 1.