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terform.
§ 5. Transformation der Parameter. 27
mit x,
eh (12),
Kreise. Es folgt dies aus dem Satze von Joachimsthal,
Bd. I, § 24, Satz 5. Ein solches Kreissystem erhält man
z. B., wenn man durch einen Kugelpunkt zwei zueinander
senkrechte Tangenten zieht und das Ebenenbüschel durch
jede dieser Tangenten mit der Kugel zum Schnitt bringt.
Wir überlassen es dem Leser, für diesen speziellen Fall die
Flächengleichungen aufzustellen (die Gleichungen des Sy
stems sind in § 7, (26) enthalten).
werden,
V, D"
Jm auch
id Tc die
an nach
§ 5. Transformation der Parameter.
Für viele Aufgaben ist es zweckmäßig, statt der ge
gebenen Parameter neue einzuführen (vgl. § 6 ff.). Sind
(1) 0{u,v) = a, W(u,v) = b,
wo a und b willkürliche Konstanten sind, die Gleichungen
der Kurvensysteme, die als Parameterkurven eingeführt
werden sollen, so hat man einfach
/
(2) cp (%) = &{u,v), xp («?]_) = W{u, v)
zu setzen, wo cp und xp ganz willkürliche Funktionen der
D', D"
inktionen
neuen Parameter u x und v x sind; denn für u i = konst. folgt
0 (u, v) = konst., ebenso für v x = konst. W(u, v) = konst. Löst
man (2) nach u und v auf
ein Or-
icht ist
:era die
arstellt.
tzen vor
gegeben
t. Sollen
lien sein,
hung (16)
Ist diese
:hält man
in Para-
(3) u = F{u x ,v x ), v=Q(u x ,v x )
und setzt die gefundenen Ausdrücke für u und v in die
Flächengleichungen § 1, (1) ein, so sind die Kurvensysteme (1)
als Parameterkurven eingeführt, und es lassen sich ohne
Schwierigkeiten die sechs Fundamentalgrößen in den neuen
Parametern u x , v x aufstellen; wir bezeichnen dieselben, wie
überhaupt alle auf die neuen Parameter bezüglichen Größen,
mit dem Index 1. Diese sechs Fundamentalgrößen JE X ,F X , G x ;
JD X , JD[, Df lassen sich aber auch direkt durch die ur
sprünglichen ausdrücken, wenn man noch die partiellen
Ableitungen der Funktionen P und Q in (3) benutzt. Setzt
dP dP
man, wie üblich, zur Abkürzung — = P x , —— = P, usw.,
so ist c v l
Systemen
hhogonal-
meidender
(4) du = P x du x + P 2 dv x , dv= Q x du x + Q 2 dv x ;
ferner
