erform. 
§ 6. Anwendung auf Rotations- und Schraubenflächen. 31 
Kurven 
Werte 
jnlinien 
Scharen 
r en ein- 
3 Funk- 
nach (6) 
^i = - 
o? + b 2 
sin 4 [u x — v x ) ’ 
(21) 
-Fi — 
a 2 + b 2 
sin 4 (% — v t ) ’ 
a 2 cos 2 (u x — v x ) — h 2 
sin 4 (% — v x ) 
A = 0, 
-Di 
2 
sin (% — v-¡) [a 2 cos 2 (% — •y 1 ) -f- & 2 ] 
i/.» 
Df=0. 
Natürlich hätte man diese Werte auch auf dem ge 
wöhnlichen Wege nach Einsetzen der Werte von u und v 
aus (19) in (13) finden können. Aus D 1 =j9i = 0 folgt 
nach § 3, Satz 2, daß nunmehr in der Tat die Kurven 
% = konst., v x = konst. Asymptotenlinien sind. 
§ 6. Anwendung auf Rotations- und Schraubenflächen. 
Wir wenden die bisherigen Ergebnisse auf zwei wichtige 
Flächengattungen, die Rotationsflächen (vgl. hierzu Fig. 19, 
S. 3) und die Schraubenflächen an. 
Die Gleichungen einer Rotationsfläche in Parameter 
form sind nach § 1, (5) 
(1) X = UC,OSV, y = u sinv, 0 = f{u); 
die Parameterkurven u = konst. sind die Parallelkreise, die 
Parameterkurven v = konst. die Meridiane. Zur Bestimmung 
der sechs Fundamentalgrößen hat man nach § 1 und 2 aus 
(1) die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von x, y, z 
nach u und v zu bilden. Diese sind 
(2) 
dx 
dy 
dz 
du 
cosv, 
=== sm v, 
du 
du 
dx 
dy 
dz 
= 0, 
dv 
— u sin v } 
-¿— = ucosv, 
dv 
dv 
d 2 x 
o, 
d 2 y 
d 2 z 
du 2 
—— = 0 
du 2 ’ 
du 2 
Cb 
55 
1 
11 
— sin V) 
d 2 y 
- ■ OAC 0) 
d 2 z 
- n 
du dv 
/^i vUö u • 
dudv 
du dv 
= u, 
d 2 x 
d 2 y 
d 2 z 
-0. 
dv 2 
— ^COS V, 
- — u sm v, 
dv 2 
dv 2