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§ 7. Minimallinien. Isometrische Linien und Parameter. 37 
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Kurven 
— konst. sind die Orthogonaltrajektorien der Schrauben 
linien. Es folgt 
Satz 6. Auf jeder Schraubenfläche ergeben sich 
die Orthogonaltrajektorien der Schraubenlinien 
durch bloße Quadratur. 
Wir werden später (§ 12) die Gleichungen (14) und 
(20) benutzen, um zu zeigen, daß zu jeder Schraubenfläche 
eine Rotationsfläche existiert, auf die die Schraubenfläche 
aufgewickelt werden kann, wie ein Blatt Papier auf einen 
Kegel oder Cylinder. 
§ 7. Minimallmien. Isometrische Linien. Isometrische 
Parameter. 
Zu den bis jetzt betrachteten reellen Linien auf der 
Fläche treten noch gewisse imaginäre Flächenkurven, 
die in den metrischen Verhältnissen der Fläche eine Rolle 
spielen: es sind die schon in Bd. I, § 13 betrachteten 
Minimallinien. Wir definieren mit Beziehung auf das 
dort Entwickelte die Minimallinien auf der Fläche als die 
Kurven, deren Tangenten alle den unendlich fernen imagi 
nären Kugelkreis treifen. 
Ihre Differentialgleichung ist nach Bd. I, § 13, (15) 
(1) dx 2 dy 2 dz 2 = 0. 
Diese Gleichung zeigt, daß das Linienelement ds der 
Minimallinien überall die Länge Null hat, weshalb man die 
selben auch Linien von der Länge Null nennt. 
In den Parametern u, v lautet die Differentialgleichung 
der Minimallinien nach § 1, (7) 
(2) ds 2 = JEdu 2 -\-2,Fdudv-\-Gdv 2 = 0. 
Durch jeden Flächenpunkt gehen nach (2) zwei Mini 
mallinien; dieselben sind stets imaginär, da die Diskrimi- 
nante von (2) A 2 = EG— F 2 [vgl. § 1, (10)] nicht ver 
schwindet. Durch Spaltung von (2) in zwei Linearfaktoren 
erhält man 
(3) iEdu+ F +l*dv = 0, 
yE 
(4) iEdu + -~^dv = 0. 
yE