38 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Die aus diesen beiden Differentialgleichungen sich er 
gebenden Werte von du:dv sind konjugiert imaginär. Es sei 
nun ¡x ein integrierender Faktor der Differentialgleichung (3), 
der natürlich im allgemeinen auch eine komplexe Funktion 
von u und v sein wird. Multipliziert man die linke Seite 
von (3) mit /x, so wird sie ein exaktes Differential, das mit 
da bezeichnet sei, so daß also 
(5) da — ju (^pE du + — dvj 
ist. Nennt man die Funktion, die aus ¡x durch Vertauschen 
von i mit —i hervorgeht, die zu /x konjugierte Funktion 
und bezeichnet man diese mit v, so zeigt man leicht, daß 
v ein integrierter Faktor von (4) ist: man erhält so ent 
sprechend zu (5) 
(6) dß = v Edudv'j • 
Aus (5) und (6) erhält man durch Integration zwei 
Gleichungen von der Form 
(7) 9?(u,v) = a, 
(8) yj{u,v) = ß. 
Dies sind die Gleichungen der Minimallinien, und 
zwar stellt (7) die eine, (8) die andere Schar derselben dar. 
Da die rechten Seiten von (5) und (6) konjugiert imaginär 
sind, so sind cp und xp konjugiert imaginäre Funktionen von 
u und v, und daher auch die Integrationskonstanten a und ß 
konjugiert imaginäre Größen. 
Das Linienelement der Fläche erhält nun eine besonders 
einfache Gestalt, wenn man mit Hilfe von (7) und (8) statt 
der willkürlichen Parameter u und v die Größen a und ß 
als neue Parameter einführt. Multiplizieren wir nämlich (5) 
und (6) und setzen zur Abkürzung 
(9) — = P 
¡xv 
so erhalten wir 
(10) ds 2 = l 2 dadß. 
Hierbei sind in l 2 noch die Parameter u, v mittels (7) 
und (8) durch a und ß zu ersetzen. Man sieht, daß für