40 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterforxn 
Die Gleichungen (3) und (4) lauten 
(13) 
(14) 
du 
, -iudv = 0, 
]/1 — U 2 
Die Integration liefert 
du 
yr 
in dv = 0. 
— ] g 
— 
1 + yi 
1 + yi —M 2 
iv — \ga, 
■ iv = lgß, 
wo die Integrationskonstanten auch in der Form von Loga 
rithmen angenommen sind. 
Die Auflösung von (4) nach u und v ergibt 
(15) 
(16) 
i Yciß 
cosv 
a + ß 
smt): 
ß 
1 + aß 2 y«/5 2 i^aß 
Durch Einführung von a, ß erhält ds 2 die Form 
ds Uladß 
(1 +a^) 2 
Mithin lauten nach (15) die Gleichungen der Kugel in 
den Parametern a, ß der Minimallinien 
a-\-ß i{ß — a) aß — 1 
(17) 
x = 
1+a/S” 
V 
1 + aß 
1 + aß 
Für manche Anwendungen ist es zweckmäßiger, den 
Parameter ß durch — 4 zu ersetzen, so daß also o und 
1 ß 
— — konjugiert imaginär sind. Die Gleichungen (16) und 
ß 
(17) gehen hierdurch über in 
(18) 
(19) 
x- 
aß 
ds 2 
y 
4 da dß 
7(1 + a ß) 
8~- 
a ~h ß 
a—ß J a — ß a — ß 
Die Übereinstimmung dieser Gleichungen mit Bd. I, 
§ 13, (14) zeigt, daß die Minimallinien der Kugel ihre 
geradlinigen Erzeugenden sind.