§ 7. Minimallinien. Isometrische Linien und Parameter. 41 
Die imaginären Minimallinien einer Fläche führen nun 
zu wichtigen reellen Liniensystemen, den sogenannten iso 
metrischen (isothermen) Linien auf der Fläche. Da, 
wie wir gesehen haben, die Parameter a und ß konjugiert 
imaginär sind, können wir setzen 
(20) a = u-\-iv, ß = u — iv, 
wo nun u und v reelle Parameter spezieller Art sind, die 
natürlich mit den zu Anfang des Paragraphen benutzten 
allgemeinen Parametern u, v nicht zu verwechseln sind. 
Das Linienelement in den Parametern a, ß hatte nach 
(10) die Form 
ds 2 = l 2 dadß. 
Vermöge (20) geht dasselbe über in 
(21) ds 2 = № {du 2 + dv 2 ) 
wo in l 2 vermittelst (20) ebenfalls u, v statt et, ß einzuführen 
sind. Da nach (21) F= 0, stehen fürs erste die neuen 
Parameterkurven u = konst., v = konst. nach § 1, Satz 1, 
allenthalben aufeinander senkrecht, bilden also ein Ortho 
gonalsystem. Bilden wir weiter die Bogenelemente ds u und 
ds 0 der Parameterkurven, so erhalten wir nach § 1, (11) 
ds n = A,du, ds v = ldv. 
Nimmt man nun die voneinander unabhängigen Diffe 
rentiale du und dv gleich groß an, so wird ds u — ds v . Kon 
struiert man also auf der Fläche die Parameterkurven 
u = konst., indem man u der Reihe nach die festen Werte 
u, u-\-du, m+2(?m, u + 3 du . . . usw. gibt, und ebenso die 
Parameterkurven v = konst. mit den Werten v, v + dv, v + 2 dv, 
v-f-3 dv . . . usw., wobei du = dv ist, so teilen diese Kurven 
die Fläche in unendlich kleine Quadrate; denn die 
Parameterkurven stehen ja aufeinander senkrecht, und da 
ds u = ds v ist, sind die beiden von einem Flächenpunkt aus 
gehenden Linienelemente der Parameterkurven gleich groß. 
Man nennt aus diesem Grund das System der Parameter 
kurven u = konst. und v== konst. ein isometrisches 
Kurvensystem. Solche Kurven spielen in der Theorie der 
Wärmeleitung eine wichtige Rolle, man bezeichnet daher das 
System auch als ein isothermes und die Parameter u, v 
thermische Parameter. Zunächst haben wir nun den