42 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Satz 2, Die notwendige und hinreichende Be- 
dingung dafür, daß die Parameterkurven isometrische 
(isotherme) Linien sind, ist, daß die Gleichungen 
(22) 
E _ W(u) 
G~0{v) ’ 
F= 0 
bestehen, wo W nur von u, 0 nur von v abhängt. 
Denn ist X ein Proportionalitätsfaktor, so hat man für das 
Linieneiement ds 2 = X \E{u) du 2 -]- 0{v) dv 2 ) oder, wenn statt 
]/ x F{u) du, ^0{v) dv bezw. d U, d Vgesetzt wird, ds 2 =X {d U 2 +d V-), 
woraus folgt, daß die Kurven U=konst., F=konst. und 
damit auch die Kurven w = konst., v = konst. isometrische 
Linien sind; jedoch sind u und v nicht thermische Para 
meter, sondern V und V. 
Auf jeder Fläche gibt es nun unendlich viele iso 
metrische Kurvensysteme. Um von einem gegebenen 
System reeller isometrischer Parameter (u, v) zu einem andern 
(%, v x ) überzugehen, haben wir nur zu setzen 
(23) u + iv= <!>(% -f-fvjJ, u — iv=0 1 {u 1 —iVi), 
wo 0 t die zu <P konjugierte Funktion ist. 
Es ist dann 
(24) du-\-idv= 0'•{du± + u — iv=0[-{du 1 —idv 1 ), 
wo 0' die Ableitung der Funktion 0 nach ihrem kom 
plexen Argument bedeutet, ds 2 geht also über in 
(25) ds 2 = X 2 {du 2 + dv 2 ) = X 2 0' 0[ {du\ + dvX), 
woraus hervorgeht, daß in der Tat die Parameter {u, v) 
isometrische sind. 
Anmerkung 1. Aus (23) folgt, daß man von einem System 
reeller isometrischer Parameter {u, v) zu einem andern (m,, v t ) 
dadurch übergehen kann, daß man u gleich dem reellen, v gleich 
dem rein imaginären Teil einer willkürlichen Funktion der 
komplexen Yariabeln u { -(- iv x setzt. 
Anmerkung 2. Sind und nicht konjugierte Funktionen, 
so erhält man gleichfalls ein System isometrischer Parameter, die 
aber nun nicht mehr reell, sondern imaginär sind. 
Erstes Beispiel. Die XF-Ebene (£ = 0). 
Das Linienelement ist 
ds 2 = dx 2 + dy 2 .