8. Konforme Abbildung. 
47 
Eine Zuordnung der Punkte von S zu den Punkten von S x 
ist offenbar hergestellt, wenn wir jedem Wertepaar (u, v) 
ein Wertepaar (%, v,) zuweisen. AVir fassen also u v v x als 
Funktionen von u, v auf, wobei diese Funktionen so zu be 
stimmen sind, daß sie den Gesetzen der konformen Ab 
bildung genügen; x, y, z sowohl als x lf y x , z x sind dann 
Funktionen der beiden Parameter u und v, und jedem 
Wertepaar u, v entspricht ein Punkt P (x, y, z) auf S und 
ein Punkt I\ {x x , y x , z y ) auf S ± , den Parameterkurven von S 
entsprechen die Parameterkurven in S x . Einem unendlich 
kleinen Dreieck PQB auf S muß dann ein unendlich kleines » 
ähnliches Dreieck P 1 Q 1 B 1 auf S x entsprechen. Es muß 
also 
(4) 
sein, und zwar für jedes beliebige Paar von Fortschreitungs- 
richtungen PQ und PR; mit anderen Worten: das Ver 
hältnis des Linienelements ds in P zu dem ent 
sprechenden ds x in P x muß unabhängig sein von der 
Fortschreitungsrichtung in P. Sind nun 
ds 2 = E du 2 + 2 Fdu dv + G dv 2 , 
ds* = E y du 2 + 2 F l du dv + G { dv 2 
(5) 
(6) 
die Ausdrücke für die Linienelemente in P und in P x , so 
muß ds:ds x unabhängig von du:dv sein; d. h. es muß not 
wendig 
E:F:G = E 1 :F 1 :G 1 
(7) 
sein. Damit ist aber auch die zweite Bedingung (4), die 
Gleichheit der Winkel erfüllt. Denn sind du : dv und du': dv' 
die Verhältnisse der Differentiale, die den Fortschreitungs- 
richtungen PQ und PB bezw. P x Q x und P 1 B 1 zukommen, 
so ist nach § 1, (14) 
__ Fdu du'-f F{du dv'-\- dv du') + G dv dv' 
)/{Edu 2J i-2Fdudv-\-Gdv 2 ){Fdu' 2J r2Fdu'dv'-\-Gdv'*) 
Ersetzt man hier F, F, G durch E X) F t , G i} so erhält 
man cos Q ± P, R v Nach (7) ändert der Ausdruck aber, wie 
man leicht sieht, seinen Wert nicht, also ist die Bedingung 
(7) nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend.