Kommerell, Theorie der Raumkurven. II. 
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§ 8. Konforme Abbildung. 
F(u x — iv x ), u + iv=F x {u x — iv x ), 
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(13) u-\-iv■■ 
wo F und F x konjugierte Funktionen sind. Die Bedingung, 
daß F und F x konjugierte Funktionen sind, ist insbesondere 
dann erfüllt, wenn für beide eine und dieselbe reelle Funk 
tion gesetzt wird. Daraus folgt 
Satz 2. Eine Fläche S wird reell auf eine 
andere Fläche S x konform abgebildet dadurch, daß 
man die isometrischen Parameter u und v von S 
gleich dem reellen (imaginären), bezw. imaginären 
(reellen) Teil einer beliebigen reellen Funktion 
der komplexen Variabein (%+*%) setzt, wo u x und 
v x die isometrischen Parameter der Fläche S x sind. 
Die eingeklammerten Wörter gelten, wenn die Formeln 
(13) benutzt werden. 
Von Wichtigkeit ist noch das Verhältnis K der Linien 
elemente ds und ds v Dasselbe bestimmt die lineare Ver 
größerung, die bei der Abbildung auftritt, während sein 
Quadrat K 2 die Flächenvergrößerung angibt. Es ist 
nach (10) und (11) 
^ K2 ds 2 F (du 2 + dv 2 ) 
ds\ X‘f (du{ + dvf) 
also bei Benutzung der Abbildungsformeln (12) 
(15) IO = (1 F'( Ul + iv t ) ■ Fiiu, - iv,), 
wo die Striche die Ableitung nach dem komplexen Argument 
%+fVi, bezw. u x —iv x bedeuten. 
Der Unterschied zwischen den Abbildungen (12) 
und (13) ergibt sich folgendermaßen: Wir bestimmen den 
Winkel w, den das Linienelement ds mit der Isotherme 
v = konst. bildet und ebenso den Winkel w x des Linien 
elements ds x mit der Isotherme v x = konst. Nach § 1, (14) 
und (15) ist 
ds costv = X du, ds sinw; = 2 dv, 
ds x cos w x = X x du x , ds x sin w x = X x dv x . 
Hieraus folgt 
(16) 
o2iw 
du-\-idv 
du — idv ’ 
fjl i Wi 
du x + idv x 
du x — idv x