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§ 9. Beispiele für konforme Abbildung. 
9. Beispiele für konforme Abbildung. 
I. Ebene auf Ebene. 
Die rechtwinkligen Koordinaten x, y eines Punktes der 
Ebene sind, wie sich in § 7 zeigte, thermische oder iso 
metrische Parameter. Sind also x x , y x die Koordinaten eines 
Punktes einer zweiten Ebene, so sind nach § 8, (12) und (13) 
die allgemeinsten Formeln für eine reelle konforme Abbildung 
(1) x + iy=F(x x + iy x ), x — iy — F x {x x — iy x ), 
oder 
(1 a) x + iy = F(x x — iy x ), x — iy = F x {x x + iy x ), 
wo wieder F und F x konjugierte Funktionen sind. 
Das YergrößerungsVerhältnis ist, wenn die Formeln (1) 
benutzt werden 
K 2 = F'{x x + iy x ) • Fi{x x — iy x ). 
Als Beispiel wählen wir in fl) F (ß) = 
a 2 
wo 
a 
eine 
Konstante und $ das komplexe Argument x + iy bedeutet. 
Dies gibt die Abbildung durch reziproke ßadien- 
vektoren. 
Die Abbildungsformeln sind also für diesen Fall 
(2) 
x-\-iy 
a 2 
x x + iy x ’ 
Aus diesen Formeln folgt 
(3) 
oder 
(4) 
x 2 -\-y 2 - 
2 , 2 ’ 
x x + y x 
V Vx 
x 
a 2 x x 
2 , 2 ’ 
Xx+yi 
y 
a 2 y x 
2 , 2 ’ 
x x + y x 
Um diese Abbildung geometrisch zu veranschaulichen, 
denken wir uns die beiden Ebenen so aufeinander gelegt, 
daß die positive X-Achse mit der positiven X x -Achse, und 
ebenso die positive Y-Achse mit der positiven -Achse 
zusammenfällt. Wir haben dann eine Abbildung der Ebene 
auf sich selbst. Aus der zweiten Gleichung (3) folgt dann, 
daß jeder Punkt P mit seinem Bildpunkt P x auf demselben