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§ 9. Beispiele für konforme Abbildung. 
In der Ebene wählen wir als thermische Parameter die 
rechtwinkligen Koordinaten x x , y v Nach § 8, (12) sind 
alsdann die Abbildungsformeln 
(7) u J r iv = F(x x -\-iy 1 ), u — iv = F 1 {x 1 — iy x ), 
wo wieder F und F v konjugierte Funktionen sind. Je nach 
dem die willkürlichen Funktionen F und F 1 gewählt werden, 
erhält man verschiedene Abbildungen. Wir betrachten zwei 
derselben, die für die Kartographie besonders wichtig sind. 
1. Die stereographische Projektion. 
Die Abbildungsformeln sind hier 
oder 
u 4- i v = x x + iy x , u — iv = x x — iy x 
x 1 = u, y x = v. 
Hiernach ergeben sich für die rechtwinkligen Koordi 
naten der Kugel (x, y, z) und der Ebene (x x , y x ) die Be 
ziehungen 
/on 2#i 2 y x x\ + y\— 1 
x ~x\ + y\ + l ’ y ~x\ + y\ + \’ x\ + y\+l' 
Durch diese Formeln ist jedem Punkte [x 1} y x ) der 
Ebene ein Punkt (x, y, z) der Kugel zugeordnet. Aus ihnen 
folgen leicht die beiden Gleichungen 
(9) x 1 {l — z) = x, y x {l—z) = y. 
Die Abbildung läßt sich in einfacher Weise geometrisch 
deuten, wenn wir Ebene und Kugel in einer speziellen 
Lage annehmen, nämlich so, daß die X- und Y-Achse der 
Ebene bezüglich mit der X- und Y-Achse der Kugel zu 
sammenfallen (vgl. Fig. 22). 
Ist dann N der Punkt, wo die Y-Achse die Kugel 
schneidet, so folgt aus (9), daß der Punkt P(x,y,z) der 
Kugel und der Punkt P x (x x , y x ) der Ebene mit dem Punkt N 
in einer Geraden liegen. Man erhält also zu jedem Punkt P 
der Kugel sein Bild P, in der Ebene, indem man P von N 
aus in die Ebene projiziert. Man nennt die hier betrachtete 
konforme Abbildung stereographische Projektion. Paßt 
man N als Nordpol, die Y-Achse als Achse der Erde auf, 
so sieht man, daß die Meridiane sich als Geraden durch