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§ 9. Beispiele für konforme Abbildung. 
kongruent sind. Die Abbildung (17) bewirkt also einfach 
eine Verschiebung der Kugel in sich selbst. Es gilt also der 
Satz 1. Eine lineare Substitution, gleichzeitig 
auf die Parameter a und ß angewendet, stellt eine 
Bewegung der Kugel in sich selbst dar (Cayley). 
Bei dieser Bewegung bleiben gewisse Punkte in Ruhe, 
nämlich diejenigen, welche mit ihrem Bilde zusammenfallen. 
Für diese ist a — a lf ß = ß 1 ‘^ a und ß sind also nach (17) die 
Wurzeln der quadratischen Gleichung in x 
cx 2 + (d — a)x — 1) — 0. 
Sind nun A und B die Wurzeln dieser Gleichung, so 
bleiben folgende vier Punkte in Ruhe 
a = A 
[ß = B\ 
, 2. 
a — B 
,ß = A. 
, 3. 
a = A 
[ß=A\ 
, 4. 
a — B 
ß = B_ 
Die beiden ersten sind die Endpunkte eines Durch 
messers; denn bei einer Vertauschung von a und ß ändern 
nach (12) alle drei Koordinaten eines Kugelpunkts ihr Vor 
zeichen. Die beiden letzten Punkte, für welche a — ß ist, 
liegen nach (12) auf dem unendlich fernen Kugelkreis. Es 
folgt daraus der, auch in der Kinematik vielgebrauchte 
Satz 2. Jede Bewegung der Kugel in sich ist 
eine Rotation um einen ihrer Durchmesser. 
Daraus folgt: 
Zusatz. Jede Drehung eines festen Körpers um einen 
Punkt ist eine Drehung um eine durch den Punkt gehende 
Achse. 
Anmerkung 1. Soll die Abbildung (17) reell sein, so muß 
nach dem oben Bemerkten ca sich aus (17) als die zu — ~ kon- 
ßi 
jugierte Größe ergeben. Als Abbildungsformeln findet man leicht 
d o. —[— b aß —|— b 
(18) 
&0 “ + 
&o ß ~T a 0 
sein, wo a 0 , b 0 die zu a, b konjugierten Konstanten sind. 
Anmerkung 2. Die Formeln (18) stellen in einfacher Weise 
eine Drehung des Koordinatensystems dar. Man findet in der 
Tat ohne Schwierigkeit mit Hilfe der Gleichungen (12) und (14), 
daß die Koordinaten x, y, z mit den Koordinaten Xi, yi, Zi durch 
die Koeffizienten einer orthogonalen Substitution mit der Deter 
minante -f-1 Zusammenhängen.