58 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
§ 10. Flächentreue Abbildung. 
Bei der konformen Abbildung zweier Flächen entsprach 
einem unendlich kleinen Dreieck der einen Fläche ein ähn 
liches Dreieck der andern. Im allgemeinen werden die 
Flächeninhalte der beiden Dreiecke verschieden groß sein. 
Man kann aber auch die Aufgabe stellen, zwei Flächen so 
aufeinander abzubilden, daß einem unendlich kleinen Dreieck 
der einen Fläche ein flächengleiches Dreieck der andern 
Fläche entspricht. Eine derartige Abbildung nennt man eine 
flächentreue. Eine flächentreue Abbildung wird im all 
gemeinen nicht auch konform sein und umgekehrt; dies ist 
mir der Fall, wenn die beiden Flächen aufeinander ab 
wickelbar sind (vgl. § 11). Sind die entsprechenden Flächen 
elemente der beiden Flächen überall gleich groß, so sind 
offenbar auch entsprechende endliche Flächenstücke gleich 
groß, während bei der konformen Abbildung die Ähnlichkeit 
der unendlich Meinen Teile natürlich nicht auch die Ähn 
lichkeit endlicher Stücke zur Folge hat. Die flächentreue 
Abbildung ist für die Kartographie gleichfalls von Bedeutung. 
Sind nun zwei Flächen F und F x gegeben durch die 
Gleichungen 
(1) x = f(u,v), y = (p(u,v), Z = yj{u,v), 
und 
(2) x l =f 1 (u,v), y x = cp x {u,v), z x = ip x {u,v), 
so entspricht jedem Wertepaar u, v ein Punkt P der einen 
und ein Punkt P 1 der andern Fläche; die Flächen sind also 
punktweise aufeinander abgebildet. Es ist leicht, das Kri 
terium dafür anzugeben, daß diese Abbildung flächentreu ist; 
wir haben nur nach § 1, (20) für beide Flächen die Ober 
flächenelemente zu bilden. Diese sind 
(8) dJ= Adudv, dJ x = k x dudv. 
Die Bedingung der Flächentreue ergibt sich aus dJ = dJ x 
in der Form 
(4) A = V 
Ist nun das Kriterium (4) für zwei gegebene Flächen 
nicht erfüllt, so ist es immer möglich, durch Transformation 
der Parameter (vgl. § 5) auf einer Fläche (oder auch auf