60 !• Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
(12) 
A = ^EG— F 2 = ±r. 
Hiernach nimmt Gleichung (8) die Form an 
(9) 
dw ew e& 
du dv du dv 
wo A für die Fläche (1) gebildet ist, die auf die Ebene 
flächentreu abgebildet werden soll. 
Sind 0 und W aus (9) bestimmt, so hätte man nach 
dem oben Gesagten, vermöge der Gleichungen (5) 
U r = 0(u,v), «?' = W(u, V) 
u' und v' an Stelle von u und v als Parameter in die 
Gleichungen der Fläche einzuführen und alsdann nach (6) 
u' = x u v' = y t 
zu setzen. Statt dessen kann man offenbar auch direkt die 
Gleichungen 
Xl = 0{u,v), y 1 = x F{u, v) 
(10) 
als Abbildungsformeln benutzen; denn sie ordnen ja jedem 
Punkte (u, v,) der Fläche (1) einen Punkt {x 1} y x ) der Ebene 
zu, vermitteln also eine Abbildung und zwar nach (9) eine 
flächentreue. Damit ist also die Aufgabe gelöst, eine beliebige 
Fläche flächentreu auf die Ebene abzubilden. Bildet man 
nun auf diese Weise zwei Flächen, jede für sich, flächen 
treu auf die A F-Ebene ab, so sind durch Vermittlung dieser 
Ebene auch die beiden Flächen flächentreu aufeinander be 
zogen; um also eine flächentreue Abbildung zweier Flächen 
aufeinander herzustellen, genügt es auch, jede derselben 
flächentreu auf die Ebene abzubilden. 
Wir wenden die gefundenen Resultate an auf die flächen 
treue Abbildung der Rotationsflächen auf die Ebene. 
Bedeutet u den Bogen der Meridian kurve, v den Winkel 
irgend einer Meridian ebene gegen die AA-Ebene, so sind die 
Gleichungen der Rotationsfläche nach § 6, (13) 
(11) x = rcosv, y = rsmv, g = f(u), 
wo r eine Funktion von u allein ist und zwischen r(u) und 
f(u) nach § 9, (12) die Relation r' 2 -\-f' 2 = 1 besteht. Das 
Linienelement lautet nach § 6, (14) ds 2 = du 2 + r 2 dv 2 . Es 
ist also