66 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt sich 
'srid 2 x d 2 x 'Sd?{ d 2 #\ 2 dm" dm' 
j du 2 dv 2 \dudv) du dv 
Aus (7) und (8) folgt nun 
dm" dm' 
m n 
(.EG — F 2 ) 2 m" E F 
n" F G 
0 m' n' 
E F 
F G 
(9) 
1 
Drückt man hier m, n usw. nach § 1, (21) durch die 
Differentialquotienten von E, F, G aus, so ist das Krümmungs 
maß h allein durch die Fundamentalgrößen erster Ordnung 
E, F, G und ihre partiellen Ableitungen nach u und v dar 
gestellt. Damit ist bewiesen der 
Satz 2 (von Gauß). Das Krümmungsmaß jedes 
Punktes einer Fläche bleibt bei einer Verbiegung 
der Fläche ungeändert. 
Mit Hilfe der Gleichungen § 1, (22) bringt man (9) 
leicht auf eine der beiden Formen 
j._ 1 fdg dg' 
+pq' — p'q + qq" 
E \dv du 
(10) 
aus denen sich noch zwei weitere durch Benutzung von § 2, 
Anm, 1 herleiten lassen. 
Es ist nützlich, den Ausdruck für das Krümmungsmaß 
für die verschiedenen Hauptformen, die das Linienelement 
einer Fläche annehmen kann, zu bilden. 
Man erhält leicht 
(11) ¿ =