§12. Beispiele für die Deformation. 69 
selbst war, so ist jetzt nach (4) v = u x die Gleichung derselben. 
Setzen wir noch 
(6) 
2 
dv = v 1 , 
so wird v eine Funktion von v 1 , die mit a bezeichnet sei, 
und es folgt 
ds 2 = du x + (% — a) 2 dv\, 
oder mit Weglassung der Indices 
(7) ds 2 = du 2 + (u— a) 2 dv 2 . 
Auf diese Form kann also das Linienelement jeder ab 
wickelbaren Fläche gebracht werden. Dabei ist a eine 
Funktion von v allein; u — a ist die Gleichung der Rückkehr 
kante, v = konst. sind die Erzeugenden der Fläche, u = konst. 
ihre Orthogonaltrajektorien, also nach Bd. I, § 12, Satz 1 
die Evolventen der Raumkurve. Um nun die Überein 
stimmung mit dem Liuienelement der Ebene herzustellen, 
benutzen wir die Minimallinien der Fläche. Aus (7) haben 
wir als ihre Differentialgleichungen 
du~\-i(u— a)dv = 0, du — i {u—a)dv = 0. 
Für diese Gleichungen ist aber e iv , bezw. e~ iv ein 
integrierender Faktor und wir können also setzen 
dx J r idy = e iv [du-\-i{u— a)dv], 
dx — idy = e~ iv [du — i (u — a) dv], 
oder integriert 
x-\-iy — ue iv — ijae iv dv, 
x — %y = ue~ iV ae~ iV dv. 
Durch (9) ist jedem Flächenpunkt (u,v) ein Punkt {x, y) 
der Ebene zugeordnet und umgekehrt. Aus (8) ergibt sich 
durch Multiplikation 
(10) dx 2 + dy 2 — du 2 + (u — o) 2 dv 2 . 
Aus (10) folgt, daß das Linienelement der Ebene durch 
die Abbildungsformeln (9) in das der abwickelbaren Fläche 
transformiert wird. Damit ist aber nach § 11, Satz 1 ge 
zeigt, daß die von den Tangenten der Raumkurve erzeugte 
Fläche auf die Ebene abwickelbar ist.