70 !• Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Trennt man in (9) den reellen und imaginären Teil 
mittelst der Gleichung ei* - ” = 0030 +¿sin?;, so erhält man 
die Abbildungsgleichungen in reeller Form 
(11) 
Man zeigt auch mit Benutzung dieser Formeln leicht, 
daß durch Einführung von u und v als Parameter das Linien 
element der Ebene die Form (7) annimmt. Setzt man in 
(11) ?; = konst., so erhält man die Gleichung einer Geraden. 
Die Erzeugenden der Fläche bleiben also bei der Abwicklung 
Geraden. Ebenso läßt sich leicht aus (11) nachweisen, daß 
diese Geraden von den Kurven u — konst. überall orthogonal 
geschnitten werden, und daß die Kurve u = a die Enveloppe 
der Geraden v = konst. ist. 
Durch Anwendung der Gaußschen Formel § 11, (13) 
auf (7), oder auch direkt aus dem Gaußschen Satz § 11, 
S. 66 ergibt sich 
Satz 1. Die abwickelbaren Flächen haben in 
allen Punkten das konstante Krümmungsmaß Null. 
Bemerkung. Es ist nicht ohne weiteres auch das Um 
gekehrte klar, daß jede Fläche mit konstantem Krümmungs 
maß = Null in die Ebene abwickelbar ist. Zum Beweis 
nehmen wir die Minimallinien zu Parameterkurven und er 
halten nach § 7, (10) für das Linienelement 
(12) 
ds 2 = 2 F du dv. 
Nach § 11, (14) ist dann 
1 6 2 lg F 
F dudv 
Hieraus folgt leicht F= UV, wo ü Funktion von u, 
V Funktion von v allein ist. Das Linienelement der Fläche 
hat also die Form 
(13) 
ds 2 = 2 UV dudv. 
Setzt man nun 
/ Z7]/2 du = x + iy, ¡V]/2dv = x— iy, 
so geht (13) über in 
(14) 
ds 2 = dx 2 -j- dy 2 .