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Wir 
§ 12. Beispiele für die Deformation. 
Dies ist aber das Linienelement der Ebene, 
haben also 
Satz 2. Alle Flächen mit dem konstanten Krüm 
mungsmaß Null sind in die Ebene abwickelbar. 
2. Die Rotationsflächen und Schraubenflächen. 
Bour hat den interessanten Satz entdeckt, daß jede 
Schraubenfläche auf eine Rotationsfläche abwickelbar ist, wobei 
die Schraubenlinien mit den Parallelkreisen der Rotations 
fläche sich decken. 
Um diesen Satz zu beweisen, nehmen wir als Gleichungen 
der Rotationsfläche (vgl. § 1, (5) 
(15) x = u cosv, y = u sinv, z = f(u). 
Das Linienelement der Rotationsfläche ist- dann 
nach § 6, (4) 
(16) ds 2 = [1 +/ v (m) 2 ] du 2 -\-u 2 dv 2 . 
Die Kurven u = konst. sind hier die Parallelkreise, die 
Kurven v — konst. die Meridiane mit der Gleichung z = f (u), 
wo u den Parallelkreisradius bedeutet. 
Die Gleichungen der allgemeinen Schraubenfläche 
(sind nach § 6, (15) 
17) x = rcosw, y = r sin iü, 8 = (p (r)aw, 
wobei die Kurven r = konst. Schraubenlinien, die Kurven 
w = konst. die Meridiane sind. Das Linienelement der 
Schraubenfläche ist nach § 6, (18) 
(18) 
T 2 cp'(r) 2 
^ r 2 -\-a 2 . 
dr 2 + (r 2 + a 2 ) 
dtv-f 
a cp'{r) dr~\ 2 
r 2 -\-a 2 . 
Statt dem Parameter w führen wir nun vermittelst der 
Gleichung 
(19) 
dtv-\ 
acp'{r) dr 
r 2 -\-a 2 
xdv 
den neuen Parameter v ein, wobei x eine beliebige Kon 
stante ist. Man erhält so für das Linienelement der 
Schraubenfläche 
(20) 
ds 2 
r 2 cp'(r) 2 
r 2 + a 2 
dr 2 + x 2 (r 2 + a 2 ) dv 2 .