72 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Das Linienelement (16) der Rotationsfläche läßt sich 
nun auch auf die Form (20) bringen, wenn wir setzen 
u 2 = x 2 (r 2 + u 2 ), 
(21) 
Diese Gleichungen haben folgende Bedeutung: Ist eine 
der beiden Flächen, z. B. die Schraubenfläche gegeben, also 
(p(r) bekannt, so trage man aus der zweiten Gleichung (21) 
r und als Funktionen von u in die dritte Gleichung ein, 
dann hat man eine Bestimmungsgleichung für f'{u), aus der f(u), 
und damit der Meridian der Rotationsfläche sich durch eine 
Quadratur ergibt. Analog verfährt man, wenn die Rotations 
fläche gegeben ist. Durch die beiden ersten Gleichungen 
sind die Parameter {u, v) der Rotationsfläche den Parametern 
(r, v) der Schraubenfläche paarweise zugewiesen, die Flächen 
also punktweise aufeinander bezogen. Dabei entsprechen 
die Parallelkreise u = konst. den Schraubenlinien r = konst. 
Die dritte Gleichung bestimmt also zu einer gegebenen 
Schraubenfläche den Meridian der Rotationsfläche durch eine 
Quadratur und umgekehrt. Führt man nun mit Hilfe von 
(21) in (16) statt der Parameter (u, v) die Parameter (r, v) 
ein, so geht das Linienelement (16) der Rotationsfläche in 
das Linienelement (20) der Schraubenfläche über. Die 
beiden Flächen sind daher nach § 11, Satz 1 aufeinander 
abwickelbar. 
Da die Gleichung des Meridians noch die willkürliche 
Konstante x und außerdem eine Integrationskonstante ent 
hält, so gibt es zu jeder Schraubenfläche nicht nur eine, 
sondern unendlich viele Rotationsflächen, die auf die Schrauben 
fläche und mithin auch aufeinander abwickelbar sind, und 
umgekehrt. Wir haben also bewiesen den 
Satz 3 (von Bour). Zu jeder Schraubenfläche 
existiert ein unendliches System von Rotations 
flächen, die auf dieselbe und aufeinander ab 
wickelbar sind, und umgekehrt. 
Zusatz. Jede Rotationsfläche, sowie jede Schrauben 
fläche kann auf unendlich viele Arten so verbogen werden,