76 I- Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
geodätischen Linien einer Fläche in den Parametern u und v 
auszudrücken. Dieselbe ist nach Bd. I, § 25, (3) 
(1) 
a dx d 2 x 
h dy d 2 y 
c dz d 2 z 
= 0. 
Um diese Gleichung auf die Parameterform zu über 
tragen, verfahren wir wie bei den Krümmungslinien: wir 
multiplizieren N mit der Determinante A, § 2, Gl. (10). 
Unter Berücksichtigung der Gleichungen § 1, (6) und (21), 
§ 2, (3) und (9) und der folgenden 
V^pidu' + i^dudv + pdv’ + ^dtu + pdtv 
du 2 äudv öv 2 du öv 
usw. ergibt sich als Differentialgleichung der geodä 
tischen Linien 
(2) 
A N= 
Edu-\-Fdv 
Fdu-\-Gdv 
m du 2 +2 m'dudv-\-m" dv 2 -\-Ed 2 u-\-Fd 2 v 
ndu 2 -\- 2n' dudv-\-n" dv 2 -\-Fd 2 u-\- Gd 2 v 
Diese Gleichung ist von der zweiten Ordnung und 
hängt nur von den Koeffizienten E, F, G des Linienele 
ments ab. 
Nimmt man auf der Fläche als die Parameterkurven 
v = konst. geodätische Linien, und als die Kurven 
M = konst. ihre Orthogonaltrajektorien, so erhält das 
Linienelement der Fläche eine bemerkenswerte ein 
fache Gestalt an, welche für manche Probleme von 
Nutzen ist. 
Zunächst ist für diesen Fall nach § 1, Satz 1, S. 8 
F = 0, also 
ds 2 = E du 2 -f- Gdv 2 . 
Da ferner die Kurven v = konst. geodätische Linien 
sein sollen, muß die Gleichung (2) für dv = 0 befriedigt 
sein. Da F=0 ist, ergibt sich als notwendige und hin 
reichende Bedingung En= 0, oder nach § 1, (21) 
E ist also reine Funktion von u. Bedeutet nun u den 
Bogen der geodätischen Linien v = konst., von einer