§18. Geodätische Linien, geodätische Koordinaten, 77 
bestimmten Orthogonaltrajektorie an gemessen, so muß 
ds u —du, also nach § 1, (11) JE — 1 sein. Das Linienele 
ment nimmt also die Form an 
(3) ds 2 = du 2 -}- G dv 2 . 
Die hier eingeführten Koordinaten [u, v) nennt man 
aus einem sofort anzugebenden Grunde geodätische Pa 
rallelkoordinaten oder auch kurz geodätische Koor 
dinaten. 
Aus dem Gesagten folgt der 
Satz 1. Die notwendige und hinreichende Be 
dingung dafür, daß die eine Schar von Parameter 
kurven ( < y = konst.) von geodätischen Linien, die 
andere (w = konst.) von ihren Orthogonaltrajektorien 
gebildet wird, ist 
6 JE 
dv 
0, 
F= 0. 
Bedeutet insbesondere u den Bogen der geodä 
tischen Linien, so ist 
E= 1, ,F=0. 
Zunächst sei noch der Ausdruck für das Krüm 
mungsmaß in geodätischen Koordinaten zugefügt. 
Nach § 11, (13) ist 
(4) 
1 d 2 ][G 
fG du 2 
Aus der Form des Linienelements (3) läßt sich ein 
hübscher Satz über geodätische Linien herleiten. Wir nehmen 
zwei beliebige Orthogonaltrajektorien u 0 und u und berechnen 
das Stück s u einer geodätischen Linie v = v 0 , das zwischen 
den beiden Orthogonaltrajektorien liegt. Da ds u — du ist, 
so folgt 
U 
s n — jdu = u — u 0 . 
«0 
Der Bogen s u ist also ganz unabhängig von dem Para 
meter v 0 , welcher die geodätische Linie bestimmt, also für 
alle geodätischen Linien v = konst. derselbe. Es folgt 
also der