78 !• Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Satz 2. Die Bogen aller geodätischen Linien 
v = konst., die zwischen zwei beliebigen ihrer Ortho- 
gonaltrajektorien liegen, haben dieselbe Länge. 
Man nennt aus diesem Grunde die Orthogonaltrajek- 
torien der geodätischen Linien auch geodätische Paral 
lelen. 
Der Satz 2 kann auch folgendermaßen formuliert 
werden: 
Zieht man (vgl. Fig. 24) durch die Punkte Ä 0 ,Ä 1 ,A 2 ... 
einer beliebigen Flächenkurve F die geodätischen Linien, 
die auf F senkrecht stehen, und trägt auf diesen von Ä 0 , 
A v A 2 . . . gleiche Stücke u = A 0 B 0 = A X B X = A 2 B 2 = ... 
ab, so bilden die Endpunkte derselben B 0 , JB V eben 
falls eine Orthogonaltrajektorie der geodätischen Linien. 
Diese Eigenschaft ist charakteristisch für die geodätischen 
Linien; denn man zeigt ebenso wie oben, daß, wenn in 
einem doppelten Orthogonalsystem {u, v) auf einer Fläche 
die Stücke aller Kurven der einen Schar v = konst. zwischen 
zwei beliebigen Orthogonaltrajektorien gleich lang sind, die 
Kurven v = konst. geodätische Linien sind. 
Der Satz 2 gilt nun offenbar auch dann noch, wenn 
die Kurve u = u 0 auf einen Punkt zusammenschrumpft, oder 
wenn die geodätischen Linien v — konst. alle durch einen 
Punkt P der Fläche gehen. Dies läßt sich auch direkt 
zeigen (vgl. Fig. 25): dabei sei v der Winkel, den eine be 
liebige geodätische Linie v {PB) mit einer festen geodätischen