§ 18. Geodätische Linien, geodätische Koordinaten. 79 
Linie v = 0 [PA) durch den Punkt P bildet. Die Kurven 
u = konst. seien die Orthogonaltrajektorien der geodätischen 
Linien, und zwar bedeute u den von P aus gemessenen 
Bogen der geodätischen Linien, so daß im Punkt P u = 0 
ist. Dann zeigt man ebenso wie oben, daß das Linien ele- 
ment die Form hat 
(5) ds 2 = du 2 -)- G dv 2 . 
Daraus folgt analog wie oben der 
Satz 3. Die Bogen aller durch denselben 
Flächenpunkt P gehenden geodätischen Linien von 
P bis zu einer beliebigen Orthogonaltrajektorie sind 
gleich lang. 
Die Punkte einer solchen Orthogonaltrajektorie u=konst. 
haben also von dem Punkt P alle den gleichen geodätischen 
Abstand. Man nennt daher diese Trajektorien auch geo 
dätische Kreise, und die Parameter (u, v) geodätische 
Polarkoordinaten mit dem Pol P. Man kann diese 
geodätischen Kreise mechanisch dadurch erzeugen, daß man 
in P einen Faden befestigt und denselben straff über die 
Fläche spannt. Bewegt man das freie Ende so auf der 
Fläche, daß der Faden stets gespannt bleibt, so beschreibt 
dasselbe einen geodätischen Kreis, während der Faden nach 
Bd. I, § 25, Satz 3 sich stets in eine geodätische Linie legt. 
Für ein geodätisches Polarkoordinatensystem kann 
man den Wert von G für den Pol u — 0 noch näher charak 
terisieren. Für das Bogenelement ds v eines geodätischen 
Kreises u = konst. erhält man nämlich zunächst allgemein 
ds v = ]/ G dv.