82 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
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Wir erhalten also für das Linienelement der Fläche 
du 2 + 2 cos codudv-\- dv 2 
ds 2 
sin 2 co 
Wir führen nun statt der Parameter (u, v) mittels der 
Gleichungen 
u-\-v = 2u^, u — v = 2 v x 
die neuen Parameter % und v 1 ein und erhalten für das 
Linien element 
dv i 
(8) 
ds 2 
du\ 
SU3l 
cos^ 
Da hier der Koeffizient von du l dv x — 0 ist, folgt der 
Satz 4 (von Weingarten). Die Ortskurven aller 
Punkte, für welche die Summe (%= konst.) oder 
Differenz {v x =konst.) der geodätischen Entfernungen 
von zwei festen Kurven konstant ist, bilden ein 
Orthogonal System. 
Schrumpfen die Kurven C x und C 2 zu Punkten zu 
sammen, so haben wir auf der Fläche Kurven, die den kon- 
fokalen Ellipsen und Hyperbeln der Ebene entsprechen; man 
nennt deshalb auch in dem hier vorliegenden allgemeinen 
Fall die Kurven % = konst. und %=konst, geodätische 
Ellipsen und Hyperbeln. Aus der Ableitung der Pe- 
sultate ist auch ersichtlich, daß, wenn das Linienelement 
der Fläche in der Form (8) vorliegt, die Parameterkurven 
geodätische Ellipsen und Hyperbeln sind. Man zeigt leicht, 
daß die geodätischen Ellipsen und Hyperbeln u + v = konst. 
und u — v — konst. den Winkel co (bezw. seinen Nebenwinkel) 
der Parameterkurven u — konst. und v = konst. halbieren. 
Damit ist die vollständige Analogie dieser Flächenkurven 
mit den konfokalen Kegelschnitten hergestellt. (Vgl. speziell 
für das Ellipsoid Bd. I, § 26.) 
3) Die Liouvilleschen Flächen. 
Liouville hat eine Gattung von Flächen untersucht, 
für die sich das Linienelement auf die Form 
(9) ds 2 = {U J rV){du 2 -\-dv 2 ) 
bringen läßt, wo ü eine Funktion von u, V eine solche von 
v allein ist. Aus (9) folgt nach § 7, Satz 2, daß die Para