86 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Die erste Gleichung (4) lautet, ausführlicher geschrieben 
(6) 
1 BE 7 BF 7 1 6G _ 
+ 0"^“ —-^7 du ~ n~^7 dv 
Dies ist die von Gauß gegebene Differential 
gleichung der geodätischen Linien. Sie nimmt eine be 
sonders einfache Form an, wenn die Parameterkurven 
ein Orthogonalsystem bilden, also F= 0 ist. Man er 
hält dann 
Wir wenden diese Gleichung an zur Berechnung der 
von Gauß eingeführten Totalkrümmung (curvatura Integra) 
eines begrenzten Flächenstücks. 
Bildet man sämtliche Punkte eines Flächenstücks J in 
der bekannten Weise auf die Einheitskugel ab, so erfüllen 
ihre Bilder auf derselben ein Flächenstück J 0 , das als das 
sphärische Bild des Flächenstücks J zu bezeichnen ist. 
Dasselbe heißt nach Gauß die Totalkrümmung oder cur 
vatura integra von J. Es ist nicht schwer zu verstehen, 
wie Gauß dazu kam, diesen wichtigen Begriff in die Flächen 
theorie einzuführen. In Bd. I, § 22, Satz 3 hatte sich ja 
ergeben, daß das Produkt der Hauptkrümmungen in einem 
Punkte einfach das Verhältnis des sphärischen Bildes dJ 0 
eines unendlich kleinen Flächenstücks dJ zu diesem selbst 
ist, und es war damit die Bezeichnung dieses Produkts als 
„Krümmungsmaß“ begründet worden. Es ist also 
Aus (8) ergibt sich für die Totalkrümmung J 0 eines 
Flächenstücks 
cIq —Jj JedJ, 
(9) 
wobei das Doppelintegral über die ganze Fläche von J zu 
führen ist. Je größer Je in dem Integrationsgebiet ist, um 
so größer ist J 0 . J 0 kann daher wirklich als Maß für die 
Totalkrümmung jenes Gebiets gelten.