§ 14. Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks. 87 
Der Begriff der Totalkrümmung führt nun zu einem 
von Gauß entdeckten und mit Recht als „theorema elegan- 
tissimum“ bezeichneten Satz über die Totalkrümmung eines 
geodätischen Dreiecks auf der Fläche, d. h. eines Dreiecks, 
dessen Seiten geodätische Linien sind. Um diesen Satz ab 
zuleiten, wählen wir geodä 
tische Polarkoordinaten mit ^ 
dem Pol in einer Ecke A des 
Dreiecks (vgl. Fig. 28), u sei 
wieder die Bogenlänge der 
geodätischen Linien durch A, 
v der Winkel derselben gegen 
die Seite AB des Dreiecks. 
Die Dreieckswinkel seien mit 
a, ß, y bezeichnet. Für den 
Punkt B ist dann v = 0, für 
C ist v — a. Der Winkel, 
unter dem die geodätische 
Linie B C die Parameter 
kurven v — konst. schneidet, sei wieder, wie oben, mit 
bezeichnet. Der Wert von d\ in B ist dann =jt — ß, 
in C — y. Das Linienelement der Fläche lautet nach 
§ 13, (5) 
(10) ds 2 = du 2 + Gdv 2 , 
wobei nach § 13, (6) 
(11) n 
CU 
lim ]/G = 0, lim — 1 
ist. Der Ausdruck für das Krümmungsmaß ist nach § 13, (4) 
(12) 7, 1 d 2 f(d 
" fG B* 9 ' 
Das Oberflächenelement dJ ist nach § 1, (20) 
(13) dJ=^Grdudv. 
Endlich folgt für dd\ aus (7) 
(U) 
dd\ 
du