wo das Doppelintegral über die ganze Fläche des Dreiecks 
za führen ist. Wir integrieren zunächst nach u von A 
bis zu einem beliebigen Punkt Q auf B C (vgl. Fig. 28). 
Unter Beachtung von (11) folgt 
«T« 
oder nach (14) 
dfa 
dv, 
du 
Jo = j{dv-\-ddß). 
Dieses Integral ist noch längs der geodätischen Linie 
BC von B bis C zu führen. In B ist v = 0, 'd i 1 = jx — ß, 
in C ist v = a, d 1 = y. Es ist demnach 
(16) J 0 = a-\- ßy— n. 
Diese Formel enthält den 
Satz 1 (vonGauß). Die Totalkrümmung (= Inhalt 
des sphärischen Bildes) eines geodätischen Dreiecks 
ist gleich dem Uberschuß seiner Winkelsumme über 
zwei Rechte (= dem Exzeß). 
Aus (9) folgt, daß die Totalkrümmung eines Flächen 
stücks positiv, negativ oder Null ist, je nachdem das Flächen 
stück lauter elliptische, hyperbolische oder parabolische Punkte 
enthält. Letzterer Fall tritt nur bei abwickelbaren Flächen 
ein. D emnach ist die Winkelsumme eines geodä 
tischen Dreiecks 
> n auf elliptisch gekrümmten Flächenpartien, 
< Ti „ hyperbolisch „ „ 
= 7i „ abwickelbaren Flächen. 
Speziell für die Kugel und die Ebene ergibt sich, daß 
in ebenen Dreiecken die Winkelsumme gleich zwei Rechten, 
im sphärischen Dreieck größer als zwei Rechte ist. 
Für Flächen von konstantem Krümmungsmaß — c folgt 
aus (9) 
oder nach (16) 
(17) 
J- 
Jq — cJ, 
a+ß+y-