§ 15. Mainardische (Codazzische) Gleichungen. 89 
Daraus folgt der 
Satz 2. Auf einer Fläche von konstantem Krüm 
mungsmaß ist der Flächeninhalt eines geodätischen 
Dreiecks dem Uberschuß seiner Winkelsumme über 
zwei Rechte proportional. 
Speziell für die Kugel vom Radius = 1 (k = c= 1) folgt 
J — a -(- ß + y — n, 
eine Gleichung, welche die bekannte Beziehung zwischen 
dem Inhalt eines sphärischen Dreiecks und seinem sphärischen 
Exzeß enthält. 
§ 15. Mainardische (Codazzische) Gleichungen. 
Bonn et scher Satz. 
Die Gaußsche Gleichung § 11, (9) bezw. (10) drückt 
DD"—D' 2 
das Krümmungsmaß h = —~JT2~ durch E, & und 
ihre Differentialquotienten aus und zeigt also, daß die sechs 
Fundamentalgrößen E, F, G; 7), D', D" nicht unabhängig 
voneinander sind. Die Gaußsche Gleichung ist aber nicht 
die einzige, welche zwischen diesen sechs Größen besteht; 
vielmehr lassen sich ihr noch zwei andere an die Seite 
stellen, welche von Mainardi (1856) herrühren. Man nennt 
sie wohl auch die Codazzischeu Gleichungen. Sie ergeben 
sich am einfachsten durch Differenzieren der Gleichungen 
§ 2, (13). Man erhält so 
dD 
d 3 x 
's^ida 
d 2 x 
dv 
a 
du 2 dv 
du 
du 2 ’ 
dD' 
v fl 
d 3 x 
, 's^ida 
d 2 x 
du 
x, a 
du 1 dv 
1 du 
dudv ’ 
dD' 
d 3 x 
S^ida 
d 2 x 
dv 
~2j a 
du dv 2 
+ du 
du dv ’ 
dD" 
v a 
d 3 x 
d 2 x 
du 
/, a 
du dv 2 
J du 
dv 2 
Zieht man die zweite dieser Gleichungen von der ersten 
und die dritte von der vierten ab, so erhält man nach § 2, 
(13) und (20)