74 De la nature des Lignes 
tems où KE & OT feroient parcourues avec la viteife a, eft 
encore une raifort d’égalité. Donc, puifque l’excès du tems de la 
chute le long de AE, pardeflus le point où K E feroit parcourue 
avec la viteife a, eft toujours un moindre, il fuit, que la dif 
férence dess tems ou AT ôc K T feroient parcourues avec les 
vireffes refpeèlives u ôc a, eft un moindre, AK étant donnée. 
Donc, par l’article 772. le fmus de l’angle K AT eft un rayon 
comme u eft à a, Ôc fi A a eft une ordonnée abaiifée de A fur 
F H, la Fluxion de la bafe F A fera toujours à la Fluxion de 
la courbe FA , comme la viteife en A à la viteife en D. Et 
telle eft l’analyfe du Problème, lorfque la péfanteur agit par 
des parallèles. Il eft clair que la ligne de la plus vite defcente de 
F à la verticale HD , eft aufil la ligne de la plus vite defcente* 
de T en D, ou entre deux points de FED. Parce que u de 
vient égal à a, lorfque E. arrive en D ; la courbe eft donc per 
pendiculaire à H D en D. 
Fig. zs& y?5. Il eft maintenant aifé de faire voir, par une démonftra- 
^ î- tion fynthétique, que la ligne, qui a cette propriété , eft celle 
de la plus vite defcente. Suppofons que FAE D foit une ligne 
telle que le fmus de l’angle quelle forme au point E avec EQ 
verticale , eft toujours comme la viteife du corps qui'defcend 
en E fur cette ligne; foit AE B un arc de cette ligne, A a ôc 
B b des ordonnées perpendiculaires à l’horifontale F H, AP 
ôc B/7 parallèles à F H , AT tangente en A , TEt tangente 
en E, t B tangente en B, ôc TR, tr parallèles à F H. 11 cil 
clair, par l’article 573. que fi AT, Tt 6c t B font parcourues 
uniformément avec les vitefies refpe&ives, acquifes aux points 
d’attouchement A, E ôc. 8, l’excès du tems fur A T t B par- 
deifus le rems où a b feroit parcourue avec une vitefie donnée 
æ, plus grande que celle qui eft acquife en B, fera moindre, 
que fi les points T, t ôc B étoient pris en quelque autre point, 
que ce foit des parallèles T R, t r ôc B p. Que I R & t r ren 
contrent la courbe en g ôc h, & que Sgi, V h v, tangentes en 
g ôc h, rencontrent AT, Tf, Ôc en S, s, V ôc v refpec- 
rivement ; ôc que A S r S j , j V, Vu, vB ioient parcourues 
avec les vitefies refpeètives acquifes aux points refpeèlifs d’at 
touchement A y g , È, h , B , l’excès du tems, où la figure cir- 
eonferite ASrV'uB eft ainfi parcourue pardeifus le tems où 
a:h feroit parcourue avec la viteife donnée a, iera moindre 
que: fi; les points S, s y , V y v ôc B étoient pris en quelques aur