Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
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gleichbleiben (aber niemals im Abnehmen) begriffen ist. Und umgekehrt mag 
die Function in jenem Intervall monoton abnehmend genannt werden, wenn 
sie beim Uebergange von « zu ß theils im Abnehmen*), theils im Sichgleich- 
Ueiben (aber niemals im Wachsen) begriffen ist. 
Hat endlich die Function eine von diesen beiden Eigenschaften (gleich 
viel welche), so soll sie kurzweg monoton heissen, selbstverständlich mit 
Bezug auf das gegebene Intervall a ... ß. 
Und in unmittelbarem Anschluss an diese Ausdrucksweise mag eine 
Function f{x) im Intervall a ... ß abtheilungsweise monoton genannt 
werden, wenn dieses Intervall in eine endliche Anzahl von Strecken zerlegbar 
ist, der Art, dass fix) längs jeder einzelnen Strecke monoton ist**). Dem 
gemäss wird z. B. sinx im Intervall 0 .... 8# abtheilungsweise monoton zu 
nennen sein; desgleichen auch tg#***). Hingegen hat z. B. die Function 
sin keinen Anspruch auf eine solche Benennung. Denn wollte man jenes 
gegebene Intervall 0 .... 8n in einzelne Strecken zu zerlegen suchen, der 
Art, dass sin(^) längs jeder einzelnen Strecke monoton ist, so würden diese 
Strecken in der Nähe des Punctes 0 unendlich klein, mithin ihre Anzahl 
unendlich gross werden. 
Stetig und abtheilungsweise stetig. Eine Function fix) heisst in einem 
gegebenen Puncte x x stetig, sobald ihre grösste Schwankung f) im Intervall 
{x x — p) ... . ix x + p) durch Verkleinerung von p beliebig klein gemacht 
werden kann. Ist hingegen solches nur möglich für die eine Hälfte des ge 
nannten Intervalls [also entweder für die Hälfte [x x — p) .... x l9 oder für 
die Hälfte x t .... (x x p)\, so wird die Function im Puncte x 1 als einseitig 
stetig zu bezeichnen sein. 
Sind ferner a < ß zwei gegebene Constanten, so wird die Function fix) 
im Intervall a .... ß stetig genannt, sobald sie in jedem innern (d. i. der 
Bedingung a < X’! < ß entsprechenden) Puncte x x stetig, und in jedem der 
beiden AWipunkte a, ß einseitig stetig ist (nämlich in a nach der Seite aß, 
und in ß nach der Seite ßa). Aus dieser Definition folgt von selber, dass 
eine im Intervall a .... ß stetige Function daselbst auch überall endlich ist. 
Ferner mag eine Function f{x) im Intervall a .... ß abtheilungs- 
*) Hier ist Analoges zu bemerken, wie in der vorhergehenden Note. 
**) Diese Strecken selber wird man kurzweg die monotonen Strecken oder die monotonen Ah- 
theilungen der Function f[x) nennen können. 
***) Vergl. die zweite Note auf S. 26 und die erste Note dieser Seite, 
f) Ist unter den Werthen, welche fix) in einem gegebenen Intervall besitzt, A der kleinste 
und B der grösste, so heisst bekanntlich B — A die grösste Schwankung von fix) für jenes Intervall. 
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