Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
i einen ad libitum gegebenen Kleinheitsgrad vorstellen soll. Und diese (unter 
Rücksicht auf jenes gegebene t erhaltenen) kleineren Strecken mögen kurzweg 
die Elementarstrecken genannt, und mit {ayß), (y Y y 2 ), {y 2 ys), (y n -. 2 y n -i), 
(y n -iß) bezeichnet werden*). Ferner sei C\ irgend ein Mittelwerth unter 
-1—1- 
y 3 
Y n ~ i 
denjenigen Werthen, welche F(x) längs der ersten Elementarstrecke (ay t ) 
besitzt, oder (um die Vorstellung besser zu fixiren) das arithmetische Mittel 
dieser Werthe**). Ebenso sei C 2 das arithmetische Mittel der längs der 
zweiten Elementarstrecke (y t y 2 ) vorhandenen Werthe von F(x); u. s. w., end 
lich C n das der letzten Elementarstrecke (y„-iß) entsprechende arithmetische 
Mittel. Alsdann wird also der absolute Betrag von \F(x) — Ci] längs der 
ersten Elementarstrecke überall < e sein, ebenso der absolute von [F{x) — C 2 ] 
längs der zweiten, u. s. f. 
Dies vorausgeschickt, führen wir eine auxiliare Function f(x) ein, welche 
abtheilungsweise constant, nämlich längs der ersten Elementarstrecke = Ci, 
längs der zweiten = C. 2 sein soll, u. s. w.; und setzen: 
DO F{x) = f[x) -\- g{x). 
Das so defínirte g(x) ist alsdann, seinem absoluten Betrage nach, im ganzen 
Intervall a .... ß überall <0 f. Beachtet man ferner, dass F(x), wie zu 
Anfang vorausgesetzt wurde, im Intervall cc .... ß monoton wächst und durch 
weg positiv ist, so ergiebt sich aus der für Ci, C. 2 , C 3 , . . . Ci gegebenen De 
finition sofort die Formel: 
(4.) 0 <: F{cc) £C i £C 2 ^C 3 ....^C n £ F{ß). 
Substituirt man nun den Werth (3.) in das zu untersuchende Integral (1.), 
so zerfällt dasselbe in zwei Theile: 
£ /? 
(50 
I F<b dx = I f<P dx 1 g<t> d x , 
U V 
welche mit U und V bezeichnet werden mögen. Tier Werth von V kann 
offenbar auch so geschrieben werden: 
*) Die (n — 1) Puncte y,, y 2 , y 3 , . ... y ra _, werden also bestehen theils aus den von Hause aus 
gegebenen Unstetigkeitspuncten der betrachteten Function F[x), theils aus gewissen anderen zwischen 
diesen Unstetigkeitspuncten noch eingeschalteten Funden. 
Vv 
**) Es soll also 6’, definirt sein durch die Formel: C, = / Fix) dx . 
Vi ~ a J