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Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
auch mit demjenigen, der vorhin mit K bezeichnet worden ist. Man kann 
daher schreiben: 
(6 b.) 
Substitnirt man diesen Werth (6 b.) in die letzte für U erhaltene Formel, 
und beachtet man, dass die Summe der daselbst in der eckigen Klammer 
enthaltenen Grössen sich auf F{ß) reducirt, so erhält man: 
Was andererseits das Integral V in (5.) betrifft, so ergiebt sich sofort: 
/». 
abs V <; / (abs g) (abs O) dx , 
a 
also, falls man den absolut grössten Werth von 0 im Intervall a .... ß mit 
M bezeichnet, und beachtet, dass der absolut grösste Werth von g in diesem 
Intervall kleiner als t ist: 
(X 
oder, was dasselbe ist: 
(8.) 
V = — «) Ms , 
wo d' einen unbekannten (positiven oder negativen) ächten Bruch bezeichnet. 
Schliesslich folgt nun aus (5.) durch Substitution der beiden Werthe (7.) und (8.); 
(9.) 
Ü einen ächten Bruch vorstellt, ferner cc, /3, M von Hause aus gegebene Con- 
stanten sind, und endlich s den zu Anfang unserer Untersuchung ad libitum 
gewählten Kleinheitsgrad vorstellt. 
Da nun das e ad libitum gewählt werden konnte, so bleibt die vor 
stehende Formel in Kraft, wie klein wir uns dieses f auch denken mögen. 
Mit andern Worten: Sie bleibt gültig, wie klein wir uns das zweite Glied 
ihrer rechten Seite auch vorstellen mögen. Demgemäss wird sie gültig 
bleiben, auch wenn wir jenes zweite Glied ganz fortlassen. Wir gelangen 
somit zu folgendem Resultat: 
Der Du Bois’sche Mittelwerthsatz. Sind F{x) und <h(^) im Intervall 
a ... ß abtheilungsweise stetig, und setzt man überdies voraus, dass F(x) 
in jenem Intervall monoton wachse und überall positiv sei, so gilt die Formel: