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Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
Rückblick auf den Du Bois-Reymond’schen Satz. 
Bei der fundamentalen Bedeutung, welche dieser Satz für die ganze Entwicklungs- 
Theorie besitzt, wird es angenehm sein, eine deutliche Anschauung von seinem inneren 
Kern zu haben. Zu einer solchen kann man durch einfache geometrische Betrachtungen 
gelangen. 
Handelt es sich zunächst um die Berechnung des durch das Integral 
0) 
a 
bestimmten Flächeninhaltes 3; 80 kann man in doppelter Weise verfahren, indem man 
diese von drei geraden Linien und der Curve y = f(x) begrenzte Fläche 3 entweder 
parallel mit der x-Axe, oder aber parallel mit der y-Axe in lauter unendlich schmale 
Streifen zerlegt. Während man im letztem Fall geradezu zum Ausdruck (1.) gelangt, 
wird man im ersten Fall zu einem ganz anderen Ausdruck gelangen. Setzt man aber 
diesen neuen dem früheren gleich, so ergiebt sich ein Specialfall des Da Bois sehen 
Satzes, vorausgesetzt, dass f{x) monoton. 
Ohne uns hierbei weiter aufzuhalten, wollen wir sogleich angeben, wie mau in 
ähnlicher Weise auch zur allgemeinen Formel des Du Bois’sehen Satzes gelangen kann. Zu 
diesem Zwecke denken wir uns die Fläche 3, oder (was dasselbe ist) die £?/-Ebene hori 
zontal, und errichten auf dieser Horizontalebene Perpendikel in sämmtlichen Rand- 
puncten der Fläche 3* Diese Perpendikel bilden alsdann in ihrer Gesaramtheit eine 
die Fläche 3 rings umziehende vertikale Wandung. Das von der Fläche 3 und dieser 
vertikalen Wandung begrenzte Volumen mag nach Oben geschlossen gedacht werden 
durch die Fläche z = <P(x), die #-Axe vertikal nach Oben laufend gedacht. Wir er 
halten auf diese Weise ein Volumen 35, welches im Ganzen von vier Ebenen, ausserdem 
aber von den beiden Cylinderflächen y — f{x) und z = 0(#) begrenzt ist. Dieses 
Volumen 35 können wir nun wieder in doppelter Weise berechnen, indem wir dasselbe 
entweder parallel der xz-Ehene, oder aber parallel der y z-Ebene in lauter unendlich 
dünne Scheiben zerlegen. Im letztem Fall ergiebt sich sofort die Formel: 
(2.) 
a 
Im erstem Fall hingegen gelangen wir, falls wir das Intervall x — a . . . . ß in unend 
lich kleine Elemente zerlegen: 
Ci 
ß 
Y u V i Y2 Y 3 
V n -i Y n 
durch die unmittelbare geometrische Anschauung zu folgendem Ausdruck: