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Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
ß. ß 
cc)J <*>dx + (f{Yi) — /■(«)))J4>dx -f- (f{y t ) —/’(yd)J^dx 
(3) 
93= { “ ß * ^ \ 
+ (f{Yn-1) - f{Y n -2)) j^dx + {f(Y n ) ~ f(Yn-1))J ^ 
y«~ I /re 
Nehmen wir nun au, /'(#) sei monoton, so sind die Differenzen: 
fiv 1) - /■(«). Ay«) - Ayi) , ..f{v n -1) - /’(y*-*)» f{v n ) ~ f(Vn-i) 
sämmtlich von einerlei Vorzeichen, und ihre Summe = f(y n ) — /’(«), d. i, = f(ß) — f{cc)- 
so dass sich also mittelst des gewöhnlichen Mittelwerthsatzes (la.) Seite 28 ergiebt: 
/ 
(4.) 93 = A«) / *dx + (fiß) - f(cc)) m , 
wo das 3)1 einen unbekannten Mittelwerth der Grössen 
ßßß ß t 
j<t>dx, J<bdx, 'jQdx, J <Pdx 
Yi y2 y 3 Yn 
vorstellt. Demgemäss lässt sich dieses 3)1 darstellen in der Form: 
(5.) 9Ji = / d x, wo 0; < £ < ß • 
r 
Substituirt mau aber diesen Werth (5.) in den Ausdruck (4.), und setzt man sodann die 
beiden Ausdrücke (2.) und (4.) einander gleich, so erhält man den Du Bois’sehen Satz. 
§ 3. 
Einige Bemerkungen über die Kreisfunctionen. 
Wir wollen hier einige ganz elementare Bemerkungen voranschicken, die 
schliesslich zu einem für unsere weiteren Untersuchungen erforderlichen Hülfs- 
satz führen werden. 
Erste Bemerkung. — Unterwirft man die Variable x der Bedingung 
0 < x < , so ist bekanntlich; 
sin X COS X < X < tg X , *) 
also, falls man durch siu x dividirt: 
*) Beschreibt man nämlich um die Spitze 0 eines gleichschenkligen Dreiecks GAB einen die 
Grundlinie AB berührenden Kreis, welcher die Schenkel OA und OB resp. in A 0 und B 0 schneiden 
mag, und zieht man endlich die Sehne A 0 B 0 , so ergiebt sich unmittelbar aus der geometrischen An 
schauung folgende Relation: 
(Dreieck OA^B^ <( (Kreissector GA 0 B^ < (Dreieck GAB). 
Diese Relation aber nimmt, falls man den Radius des Kreises mit r, und den Winkel AGB mit 2x 
bezeichnet, die Gestalt an: 
r 2 sin x cos x <i r 2 x < r 2 tga:. W. z. z. w. 
5 *