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Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
An die Formeln (4.), (5.) schliessen sich einige Bemerkungen über das In 
tegral der Function A„(qp). Einerseits folgt nämlich aus (4.): 
(6.) 
/■ 
A {cp) dcp — 4-; mithin auch 
A„(qp) dcp 
und andererseits folgt aus (5.) mittelst der auf Seite 38 gefundenen Formeln 
(10.), (11.) nicht nur: 
(7.) 
sondern auch: 
ß 
absJ A re (qp) dcp <( 2 n , falls 0 <! y < S < n , 
Y 
8 
(8.) abs IA (q>) dtp < J , , falls*) 0<y< S < jt . 
1 fvTL öiUL ^ y 
Y 
Dies vorangeschickt, gehen wir nur über zur 
Untersuchung des specielleu Integrals S n (3.) — Offenbar können wir 
dasselbe in zwei Theile zerlegen: 
(9.) 
o n 
S n =J *F{cp) A n {cp) dcp +J F{cp) A n (cp) dcp; 
und hei der Untersuchung dieser beiden Theile wollen wir gleich von vorn 
herein voraussetzen, dass die gegebene Function 
(10.) F{cp) 
im Intervalle cp — — jr . . . + jt abtheilungsweise stetig und abtheilungs 
weise monoton sein solle. Gleiches wird alsdann offenbar auch gelten von der 
Function F{rp) — Const., also z. B. von der Function 
(11.) f(<p) = F{cp) — F{0), 
wobei sogleich bemerkt sein mag, dass diese neue Function /‘(cp) für cp = 0 
verschwindet. In der That wird: 
(12.) /’(0) = 0, und f(a) = F{a) — F{0). 
Zufolge der Voraussetzung (10.) kann z. B. das Intervall <jp = 0 . . . . sr 
in eine endliche Anzahl von Strecken zerlegt werden, der Art, dass F{<p) t 
mithin auch f{cp) längs jeder solchen Strecke monoton ist. Die Anzahl dieser 
monotonen Strecken mag h heissen; so dass also diese Strecken selber ange- 
dentet werden können durch das Schema: 
0 a 
r 2 
T h-1 
n 
T h 
) Es heisst hier: 0 < y, während in der vorhergehenden Formel (7.) steht: 0 ■< y.