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Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
zu beiden Seiten des Punctes (+ jt) zwei Nachbarpuncte G, 77, und zwar 
in solcher Weise, dass die Abstände der beiden ersteren von (— jt) und die 
Abstände der beiden letzteren von (-f- jt) alle ein und denselben unendlich 
kleinen Werth haben, so wird die Function F in g denselben Werth wie in 
G, ebenso in h denselben Werth wie in H besitzen; was angedeutet sein 
mag durch die Formeln: F g = F G und F h = F H . 
Zufolge des vorhergehenden Satzes ist nun der Werth des Ausdruckes 
(C.) in jedem der beiden Pnncte (— jt) und (+ jt) gleich i(F G + F h ,), also, 
zufolge der soeben gemachten Bemerkungen, auch darstellbar durch \{F g + F,), 
oder durch l(F G + F H ); was in vollem Einklang steht mit demjenigen Werthe 
i {J ( ( h — 0) + F{cp t + 0)), den jener Ausdruck (C.) besitzt für jedweden 
zwischen (— jt) und (-{- jt) gelegenen Punct qpj. Wir sehen somit, dass bei 
der gegenwärtigen Sachlage (wo die Function F nach beiden Seiten periodisch 
fortgesetzt gedacht wird), der vorhergehende Satz sich reducirt auf die eine 
Formel: 
-\-n 
(2.) ]im n _ cc J F(cp) A re (> — qpj) dcp = 9) + J’fyr+O) ^ für _ n <■ q , ) ^ 
— 7t 
Diese Formel, welche also gilt für alle Punkte des Intervalles — jt + jt 
(einerlei ob sie innere oder End-Puncte desselben sind), können wir noch ein 
klein wenig anders schreiben. 
Da nämlich die gegenwärtige Function F{g) periodisch , und die Länge 
ihrer Periode = 2 jt ist, mithin Gleiches auch von dem Product F{q) A ){ (<p — <fi) 
gilt*), so wird offenbar das in (2.) stehende Integral ein und denselben Werth 
haben, einerlei ob man dasselbe von — jt bis + jt, oder ob man es von 
irgend welcher willkürlichen Grösse a aus bis {a + 2 jt) erstreckt. Somit 
kann also jene Formel (2.) auch so geschrieben werden: 
a + 2 n 
(3.) lim n _ F {cp) A re {(p — cpö dcp = -■&* ~ +_°) > f ür _ n < qo t < + n . 
a 
Endlich bemerkt man, dass diese Formel nicht nur gilt für die der Be 
dingung — jt < (/ r < F * entsprechenden Pnncte <p l7 sondern auch für jeden 
beliebigen anderen Punct g 2 . Wo nämlich qp 8 auch liegen mag, stets wird 
sich ein der Bedingung — jt < (f { < + jt entsprechendes angeben lassen, 
welches von <f.> nur durch ein ganzes Auelfaches von 2 jt sich unterscheidet. 
Und die Formel (3.) muss daher, weil sie für dieses { gilt, auch gelten für 
jenes fp/, denn die Functionen A n {cp — g j und F(q 1 ) sind in Bezug auf g, 
*) Vergi, die Formel (D.)