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Hält man eine bestimmte Gruppe, welche bei Bildung der Versetzun
gen mit Wiederholungen aus einer Reihe von m Elementen zur x ten
Klasse entsteht, fest, so bemerkt man leicht, dafs jedes Element von
einer bestimmten Stellenzahl durch r Elemente, welche dieselbe Stellen
zahl führen, vertreten werden kann (das Element der ersten Elementen-
reihe mit eingerechnet), wenn im Ganzen r Elementenreihen statt einer
in Betrachtung kommen. Hiernach wird eine bestimmte Gruppe in der x ten
Klasse bei dem Uebergang von einer auf r Elementenreihen so vielmal
mehr erscheinen, als die x te Potenz von der Zahl der Elementenrei
hen, oder r x , angibt. (Vergl. m. Comb. Lehre §. 45 Nro. 145.) Was von
einer bestimmten Gruppe gilt, gilt auch von jeder andern bestimmten,
also von allen Gruppen. Hiernach kann man von der Gruppenanzahl
der Versetzungen mit Wiederholungen aus einer Elementenreihe zur p ten
Klasse auf die aus r Elementenreihen zur nämlichen Klasse übergehen,
("auch wenn sie bestimmten Bestimmungen, wie hier, unterliegen) wenn
man die fragliche Gruppenanzahl mit der entsprechenden Potenz ver
vielfacht. Man findet also die gesuchte Anzahl, wenn man die in
1—16 erhaltenen Anzahlen mit den zugehörigen Potenzen von r verviel
facht. Es gehört sofort r k zu (m—k-j-1), r k+1 zu m—k, r 2k zu (m—2k-f-l)
u. s. w. Aus 14 und 15 ergibt sich hiernach für die zu bestimmende
Gruppenanzahl
( (
p-2k-a
21) A — r p (B — C -)— D — E -{-....)
22) A = (p-k-f-1) (m-k-f-1) r fc (rm) p ~ k — (p-k) (m-k) r k+1 (rm) p-k-1
CP ~ 2 -pi-~ (m-k+l)V k Crm) 2 —2 Cp -^^- 1 (m-k+l)(m-k) r k+1 rm +..)
+ (p-2k+l) (m-2k+l)r 2k (rm) p - 2k — (p-2k) (m-2k)r 2k+l (vmy- 2 *- 1
u. s. w. Aus IT bestimmt sich die Anzahl der Gruppen, worin hinterein
ander in der Reihenfolge ihrer Stellenzahlen k Elemente wenigstens r mal
und höchstens s mal erscheinen.
23) AL’ 8 = r p (AL - A'^ 1 )
Sollen die Wahrscheinlichkeiten für die ebengenannten Fälle abge
leitet werden, so ergibt sich, wie leicht ersichtlich ist, dafs sie mit denen
unter 18—20 angegebenen Bestimmungen genau zusammen fallen, denn
es zerstört sich die Potenz rP im Zähler und Nenner.
