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§ 48. Die sphärische Geometrie. 
sich beweglich; dagegen ist für &<1 der Punkt u = \n sin 
gulär (ein auf der Achse gelegener konischer Punkt) und 
ebenso für 7c >1 der Parallelkreis 
. 1 
u = arc sm-=-. 
IC 
(Die Meridiankurve hat hier einen Rückkehrpunkt.) 
Ein Flächenhäutchen von demselben konstanten posi 
tiven Krümmungsmaß wie die Rotationsfläche kann daher 
nur so weit geschoben werden, daß sein Rand eine singuläre 
Stelle eben erreicht, nicht darüber hinaus. — Der Ausdruck 
für das Quadrat des Bogenelements: 
ds 2 = dz 2 + dr 2 r 2 dcp 2 = du 2 + k 2 cos 2 udcp 2 
zeigt unmittelbar die Abwickelbarkeit auf die Kugel 
x = cosU' cos ip, y = cos u • sin ip , 3 — sin u, 
wenn man setzt 
\p = lc • <p. 
Bemerkung: Mit Ausnahme der Kugel weisen alle 
Flächen konstanten positiven Krümmungsmaßes Singularitäten 
auf, so daß die Kugel allein im euklidischen Raum eine 
vollkommene Darstellung unserer Geometrie gibt. x ) 
3. D arstellung in der euklidischen Ebene. 
In Kapitel II wurde eine Darstellung der hyperbolischen 
Geometrie mit Hilfe der euklidischen Kreisgeometrie gegeben. 
Genau das entsprechende kann für die sphärische Geometrie 
ausgeführt werden, indem man die Kugel stereographisch auf 
die Ebene abbildet. 2 ) 
Projiziert man die Punkte der Kugel x 2 y 2 + z 2 — 1 
vom Nordpol (x = y = 0, z= 1) aus in die Aquatorebene 
(0 = 0), so entsprechen den „Geraden“, d. h. den größten 
Kreisen, die durch die Gleichung 
Ax-j- By-\- Cz = 0 
gegeben sind, die Kreise 
9 Nachrichten der K. G. d. W. Göttingen, 
TTlfl««p 18QQ S 44 
2 )‘ Vgl. Sammlung Schubert. Bd. XLIY, S. 53. 
Math. 
Phys.