200 Kapitel VII. Die sphärisch-elliptische Geometrie. 
2 Ax + 2 JBy + G{x 2 + y 2 — 1) = 0 . 
Sie stellen ein Diametralbändel dar (§ 7, 2), denn 
sie schneiden den Kreis 
x 2 -\-y 2 — 1 = 0 
in gegenüberliegenden Punkten eines Durchmessers. 
Was die Maßbestimmung betrifft, so erhält man sie durch 
Übertragung von der Kugel. 
Winkel sind also einfach in euklidischem Maße zu 
messen, da die stereographische Projektion konform ist. 
Der sphärische Abstand s zweier Punkte x 1 y 1 z 1 und 
x 2 y 2 z 2 auf der Kugel ist gegeben durch die Formel 
sin 1s = |]/(^ — x 2 ) 2 + {y x — y 2 ) 2 + (z x — z 2 ) 2 . 
Geht man zur Ebene über, so ist x, y und z zu er 
setzen durch 
2x 2 y 
~N* ~N' 
l--(N=x 2 + y 2 + l), 
so daß sich ergibt 
i(x x N 2 
sin-|-s 
■ ^2 ^i) 2 + (*/i N 2 - Vi N \Y + (Ü - rlY 
N x -N 2 
Hierin ist gesetzt 
rl^x'i + yi, r\ = x\ + y\, 
N x =rl+1, A 2 = r| + 1. 
Man kann den Ausdruck noch umformen in 
sin|s = 
p 
+ rl — 2(x 1 x 2 +y 1 y 2 ) 
N x N 2 
Hieraus folgt z. B. — was übrigens die stereographische 
Projektion, die ja die kleinen Kreise der Kugel in Kreise 
der Ebene verwandelt, unmittelbar ergibt, — daß die Kreise 
in unserm Bild einfach mit den Kreisen der euklidischen 
Geometrie zusammenfallen. Soll die Entfernung s des Punktes 
x x = a, y x = 1) von dem beweglichen Punkt x, y konstant 
sein, so führt dies auf die Gleichung 
(,x 2 + y 2 -f 1) (a 2 -f l) 2 + l)sin 2 l~s