COURS DE GÉOMÉTRIE.
()
a, d’après le lemrne, S ; donc
.. .rS ,i — aS'.
Or, on peut remplacer e> par le produit d’un déplacement (D et
d’une homothétie de pôle O , et le produit de cette homothétie
par è' est une autre de pôle O'. Donc
1 *) 2 • • • è> n ~ (D b .
Si le point 0' est rejeté à l’infini, §' se réduit à une symétrie et
l’on a pour le produit (DS’ une similitude qui peut être remplacée
par le produit d’un déplacement (D par une homothétie JC.
On n’obtient finalement que des transformations (DS et (D3C.
Elles forment un groupe dit isogonal parce que, comme Liouville
l’a remarqué le premier, ce groupe contient toutes Les transfor
mations de L’espace qui conservent Les angles ( 1 ).
45*. [Remplacer le passage commençant, au bas de la
page 9Q, par les mots « On pourra donc, à volonté, ... » et finis
sant, page ioo, à la Remarque, par ce qui suit ( 2 ) :
Si l’on a construit ainsi les tangentes m 2 t et ni 3 1 à la première
conique, se coupant en £, m 2 t' et 1113^' à la seconde, se coupant
en t\ et si, de plus, les droites m 2 0 et m 3 m 4 se coupent en /i 2 ,
m 3 0 et m 2 m } en p :) , les points l, t\ p 2 et p 3 se trouvent à la fois
sur la polaire unique, par rapport à toutes les coniques circons
crites à Om 2 m 3 m, n du point de rencontre des droites m 2 m 3 et
O ni’,. !1 suffit doue de prendre les points d’intersection/> 2 etp 3 de
( 1 ) Une démonstration géométrique du théorème de Liouville a été donnée
dans les Nouvelles Annales de Mathématiques ( 1920, p. 356) par l’élève Lévêque,
de la promotion spéciale 1919.
Ce théorème peut aussi se déduire de la démonstration de l’élève Pétry. En
effet, si l’on considère toutes les surfaces parallèles à une surface donnée et les
deux systèmes de normalies développables communs à ces surfaces paral
lèles ( n° 94), on forme un système triple orthogonal (n° 96) qui reste tel pour
toute transformation conservant les angles. On en déduit qu’une transformation
quelconque conservant les angles conserve les lignes de courbure, et, puisque
sur une sphère, une ligne quelconque est de courbure, qu’une telle transforma
tion fait correspondre à toute sphère une autre sphère. Elle rentre donc dans le
groupe défini ci-dessus.
( 2 ) Faire la figure.
