LIVRE VII.
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ces cinq polyèdres existent réellement, et qu’on peut en
déterminer toutes les dimensions lorsqu’on connaît une de
leurs faces.
PROPOSITION II.
PROBLEME.
Etant donnée l’une des faces d’mi polyèdre réguliers, ou
seulement son côté, construire le polyèdre.
Ce problème en présente cinq qui vont être résolus suc
cessivement.
Construction du tétraèdre.
Soit ABC le triangle équilatéral qui doit être une des faces Cg- ^43-
du tétraèdre ; au point O , centre de ce triangle, élevez OS
perpendiculaire au plan ABC ; terminez cette perpendiculaire
au point S , de sorte que AS:=: AB ; joignez SB , SC , et la
pyramide S ABC sera le tétraèdre requis.
Car, à cause des distances égales OA , OB , OC , les obli
ques SA, SB , SC , s’écartent également de la perpendicu
laire SO et sont égales. L’une d’elles SA —AB; donc les
quatre faces de la pyramide SABC sont des triangles égaux
au triangle donné ABC. D’ailleurs les angles solides de cette
pyramide sont égaux entre eux, puisqu’ils sont formés cha
cun avec trois angles plans égaux; donc celte pyramide est
un tétraèdre régulier.
Construction de l’hexaèdre.
Soit ABCD un quarré donné : sur la base ABCD construi- %. 244.
sez un prisme droit dont la hauteur AE soit égale au côté
AB. Il est clair que les faces de ce prisme sont des quarrés
égaux, et que ses angles solides sont égaux entre eux comme
étant formés chacun avec trois angles droits ; donc cc prisme
est un hexaèdre régulier ou cube.
Construction de l’octaèdre.
Soit AMB un triangle équilatéral donné : sur le côté AB £ g , 245.
décrivez le quarré ABCD ; au point O, centre de ce quarré,
élevez sur son plan la perpendiculaire TS , terminée de part
et d’autre en ï et S , de maniéré que OT — OS == AO ;