3VOTE X. 3l5 
angle C, un triangle CDE équivalent au triangle donné 
CAB, il faut déterminer CE par la proportion : 
tang4 CD:tang4 CA :: tang-i CB:tang4CE. 
3° Pour faire avec l’angle du sommet C un triangle isos- 
cèle DCE équivalent au triangle donné CAB, il faut 
prendre tang4 CD, ou tang4 CE, moyenne proportionnelle 
entre lang4 CA et tang4 CB. 
cot ^ a cot -j- b -f- cos C 
4° La ijiéme formule cot 4 S = 1 : 
sm C 
peut servir à démontrer d’une maniéré très-simple la pro 
position XXVI du livre YII; savoir, que de tous les trian 
gles sphériques formés avec deux côtés donnés a et ù, le 
plus grand est celui dans lequel l’angle C compris par les 
côtés donnés, est égal à la somme des deux autres angles 
A et B. 
Du rayon OZ — i décrivez la demi-circonférence YMZ, fig. a83 
faites l’arc ZX =: C, et de l’autre côté du centre prenez 
OP == cot ~ a cot - b ; enfin joignez PX et abaissez XY pei’- 
pendiculaire sur PZ. 
PY 
Dans le triangle rectangle PXT on a cot P = ——= 
A JL 
col 4 a cot~ b -f- cos C 
: donc P — 4 S ; donc la surface S 
sin C 2 
sera un maximum, si l’angle P en est un. Or, il est évident 
que si on mené PM tangente à la circonférence, l’angle 
MPO sera le maximum des angles P, et alors on aura MPO 
nMOZ — 4 Donc le triangle sphérique, formé avec 
deux côtés donnés , sera un maximum si on a 4 S “ C 
— 4 tc, ou C =r A -f- B, ce qui s’accorde avec la proposition 
citée. 
On volt en même temps, par cette construction, qu’il 
n’y aurait pas lieu à maximum si le point P était au-dedans 
du cercle, c’est-à-dire, si l’on avait cot4 a cot4 è< i- 
Condition d’où l’on tire successivement cot 4 a < tang4 b, 
tang (4 tc —4 a) < tang4 b, 4 tc — ~ a < \ b, et enfin w< 
a-\-b, ce qui s’accorde encore avec le scholie de la même 
proposition.