NOTE XII. 
3a5 
dette définition exige pour les bases, en les supposant 
triangulaires, deux conditions, et pour chacun des som 
mets hors des bases , trois conditions ; de sorte que , si S est 
le nombre des angles solides de chacun des polyèdres , la 
similitude de ces deux polyèdres exigera 2 + 3 (S —■ 3 ) 
angles égaux de part et d’autre, ou 3 S — 7 conditions; 
et aucune de ces conditions n’est superflue ou comprise 
dans les autres. Car nous considérons ici deux polyèdres 
comme ayant simplement le même nombre de sommets ou 
d’angles solides ; alors il faut rigoureusement, et sans en 
omettre une, les 3 S — 7 conditions pour que les deux 
solides soient semblables ; mais si on supposait avant tout 
qu’ils sont de la meme espece l’un et l’autre, c’est-à-dire 
qu’ils ont un égal nombre de faces , et que ces faces compa 
rées chacune à chacune ont un égal nombre de côtés , cette 
supposition l’enfermerait des conditions dans le cas où il 
y aurait des faces de plus de trois côtés, et ces conditions 
diminueraient d’autant le nombre 3 S — 7 , de sorte qu’au 
lieu de 3 S — 7 conditions il n’en faudrait plus que A — 1 ; 
sur quoi voyez la note vin. On voit par là ce qui donne 
lieu à la difficulté de poser une bonne définition des solides 
semblables ; c’est qu’on peut les considérer comme étant 
de la même espece , ou seulement comme ayant un égal 
nombre d’angles solides. Dans ce dernier cas toute difficulté 
est écartée , et il faut que les 3 S — 7 conditions renfermées 
dans la définition soient remplies toutes pour que les solides 
soient semblables, et on en conclura à plus forte raison 
qu’ils sont de la même espece. Au reste, notre définition 
étant complété, nous en avons déduit comme théorème la 
définition de Robert Simson. 
On voit donc qu’il est possible de se passer, dans les élé 
ments , du théorème concernant l’égalité des polyèdres ; 
mais, comme ce théorème est intéressant par lui-mème, 
on sera bien aise d’en trouver ici la démonstration, qui 
servira à compléter la théorie des polyèdres (1). 
(1) La démonstration que nous donnons ici, est, a quelques déve 
loppements près, la même que M. Cauchy a communiquée récemment 
à l’Institut, et qu’il a découverte en partant de quelques idées qui