NOTE XII.
3a6‘
La question qu’il faut examiner, est de savoir si, en
faisant varier les inclinaisons des plans qui composent la
surface d’un polyèdre convexe donné, on peut former un
second polyèdre convexe, compris sous les mêmes plans
polygonaux, assemblés entre eux dans le même ordre.
Nous observerons d’abord que, s’il y a un second polyèdre
qui satisfait à la question, ce ne peut pas être le polyèdre
symmétrique du polyèdre donné, puisque dans ces deux
polyèdres les plans égaux sont disposés dans un ordre in
verse autour des angles solides correspondants. Ainsi la
considération des polyèdres symmétriques doit être en
tièrement écartée de l’objet dont nous nous occupons.
Nous observerons, en second lieu, que si le polyèdre
donné contient un ou plusieurs angles solides triples , ces
angles sont de leur nature invariables, puisque la connais
sance de trois angles plans suffit pour déterminer les in
clinaisons mutuelles de ces plans , lorsqu’ils sont réunis en
angle solide. On peut donc supprimer dans le solide pro
posé toutes les pyramides triangulaires qui forment les
angles solides triples (i); et si le nouveau polyèdre qui
résulte de cette suppression, offre encore des angles solides
triples, on pourra de même les supprimer, et ainsi succes
sivement, jusqu’à ce qu’on parvienne à un polyèdre dont
tous les angles solides n’assemblent pas moins de quatre
angles plans chacun. En effet, si le solide proposé peut
changer de figure par des variations quelconques dans les
inclinaisons de ses plans , ce changement ne peut avoir lieu
sur les pyramides triangulaires retranchées, et il devra
s’opérer tout entier sur le polyèdre restant après la sup
pression de toutes les pyramides triangulaires. Nous ne
nous occuperons donc dans ce qui suit, que des polyèdres
dont tous les angles solides assemblent au moins quatre
angles plans.
%. 286, Cela posé, soit S l’un quelconque des angles solides du
avaient été proposées pour le même objet dans la première édition
de ces Eléments, pag. 827 et suiv.
(1) Si une même arê-te était commune à deux angles soldes triples ,
on ne supprimerait dans la première opération qu'un de ces angles.
